Вычислите и проверьте ортонормированные базисные векторы для диапазона матрицы полного ранга.

Определите матрицу и найдите ранг.

A = [1 0 1;-1 -2 0; 0 1 -1];
r = rank(A)

r = 3

С тех пор A - квадратная матрица полного ранга, ортонормированный базис, вычисленный orth(A) соответствует матрице U вычисляется в сингулярном разложении, [U,S] = svd(A,'econ'). Это потому, что сингулярные значения A все ненулевые.

Рассчитайте ортонормированный базис для диапазона A использование orth.

Q = orth(A)

Q = 3×3

   -0.1200   -0.8097    0.5744
    0.9018    0.1531    0.4042
   -0.4153    0.5665    0.7118

Количество столбцов в Q равно rank(A). С тех пор A имеет полный ранг, Q и A одинаковый размер.

Проверьте, что базис, Q, ортогонально и нормализовано в пределах разумного диапазона ошибок.

E = norm(eye(r)-Q'*Q,'fro')

E = 1.0857e-15

Ошибка имеет порядок eps.

Вычислите и проверьте ортонормированные базисные векторы для диапазона матрицы с дефицитом ранга.

Определите сингулярную матрицу и найдите ранг.

A = [1 0 1; 0 1 0; 1 0 1];
r = rank(A)

r = 2

С тех пор A является дефицитом ранга, ортонормированный базис, рассчитанный orth(A) соответствует только первому r = 2 столбцы матрицы U вычисляется в сингулярном разложении, [U,S] = svd(A,'econ'). Это потому, что сингулярные значения A не все ненулевые.

Рассчитайте ортонормированный базис для диапазона A использование orth.

Q = orth(A)

Q = 3×2

   -0.7071         0
         0    1.0000
   -0.7071         0

С тех пор A является дефицитом ранга, Q содержит на один столбец меньше, чем A.