Используйте null функция вычисления ортонормированных и рациональных базисных векторов для нулевого пространства матрицы. Пустое пространство матрицы содержит векторы $\mathit{x}$, удовлетворяющие $\mathrm{Ax}\mathrm{=}$0.

Создайте магическую квадратную матрицу 4 на 4. Эта матрица имеет дефицит по рангу, при этом одно из сингулярных значений равно нулю.

A = magic(4)

A = 4×4

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

Вычислите ортонормированный базис для нулевого пространства A. Убедитесь, что $\mathit{}{\mathit{}}_{\mathrm{Ax1}}\mathrm{=}$0, в пределах ошибки округления.

x1 = null(A)

x1 = 4×1

    0.2236
    0.6708
   -0.6708
   -0.2236

norm(A*x1)

ans = 4.4019e-15

Теперь вычислите рациональный базис для нулевого пространства. Подтвердите, что $\mathit{}{\mathit{}}_{\mathrm{Ax2}}\mathrm{=}$ 0.

x2 = null(A,'r')

x2 = 4×1

    -1
    -3
     3
     1

norm(A*x2)

ans = 0

x1 и x2 похожи, но нормализуются по-разному.

Найдите одно конкретное решение для неопределенной системы, а затем получите общую форму для всех решений.

Неопределенные линейные системы $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b включают больше неизвестных, чем уравнений. Неопределенная система может иметь бесконечно много решений или не иметь решения. Когда система имеет бесконечно много решений, все они лежат на линии. Все точки на прямой получаются линейными комбинациями нулевых векторов пространства.

Создайте матрицу коэффициентов 2 на 4 и используйте обратную косую черту для решения уравнения $\mathit{}{\mathit{}}_{\mathrm{Ax0}}\mathit{=}$b, $\mathit{где}$ b - вектор единиц. Обратная косая черта вычисляет решение задачи методом наименьших квадратов.

A = [1 8 15 67; 7 14 16 3]

A = 2×4

     1     8    15    67
     7    14    16     3

b = ones(2,1);
x0 = A\b

x0 = 4×1

         0
         0
    0.0623
    0.0010

Полное общее решение для неопределенной системы имеет вид $\mathit{x}{\mathit{=}}_{\mathrm{}}\mathrm{x0}$+ Ny, где:

Вычислить пустое пространство A, а затем использовать результат для построения другого решения системы уравнений. Убедитесь, что новое решение удовлетворяет $\mathrm{Ax}\mathit{=}$b, вплоть до ошибки округления.

N = null(A)

N = 4×2

   -0.2977   -0.8970
   -0.6397    0.4397
    0.7044    0.0157
   -0.0769   -0.0426

x = x0 + N*[1; -2]

x = 4×1

    1.4963
   -1.5192
    0.7354
    0.0093

norm(A*x-b)

ans = 1.8291e-14