Сравнить решения с системой линейных уравнений, полученных обратной косой чертой (\) и pinv.

Если прямоугольная матрица коэффициентов A имеет низкий ранг, то наименее квадратная задача минимизации norm(A*x-b) имеет бесконечно много решений. Два решения возвращаются x1 = A\b и x2 = pinv(A)*b. Отличительные свойства этих решений таковы: x1 имеет только rank(A) ненулевые компоненты и norm(x2) меньше, чем для любого другого решения.

Создание матрицы «8 на 6», содержащей rank(A) = 3.

A = magic(8); 
A = A(:,1:6) 

A = 8×6

    64     2     3    61    60     6
     9    55    54    12    13    51
    17    47    46    20    21    43
    40    26    27    37    36    30
    32    34    35    29    28    38
    41    23    22    44    45    19
    49    15    14    52    53    11
     8    58    59     5     4    62

Создайте вектор для правой части системы уравнений.

b = 260*ones(8,1)

b = 8×1

   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260

Число, выбранное для правой стороны, 260, является значением магической суммы 8 на 8 для A. Если A все еще были матрицей 8 на 8, то одним решением для x был бы вектор 1s. Только с шестью столбцами, решение существует, так как уравнения все еще согласуются, но решение не все 1s. Поскольку матрица имеет низкий ранг, существует бесконечно много решений.

Решение для двух решений с использованием обратной косой черты и pinv.

x1 = A\b

Warning: Rank deficient, rank = 3, tol =  1.882938e-13.

x1 = 6×1

    3.0000
    4.0000
         0
         0
    1.0000
         0

x2 = pinv(A)*b

x2 = 6×1

    1.1538
    1.4615
    1.3846
    1.3846
    1.4615
    1.1538

Оба эти решения точны в том смысле, что norm(A*x1-b) и norm(A*x2-b) имеют порядок ошибок округления. Решение x1 является особым, поскольку имеет только три ненулевых элемента. Решение x2 является особенным, потому что norm(x2) меньше, чем для любого другого решения, включая norm(x1).

norm(x1)

ans = 5.0990

norm(x2)

ans = 3.2817