Показать, как использовать decomposition объекты могут улучшить эффективность решения $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b со многими правыми сторонами.

Обратная итерация - итерационный алгоритм собственных значений, который решает линейные системы со многими правыми сторонами. Это способ итеративного вычисления собственного значения матрицы, начиная с предположения о соответствующем собственном векторе. Каждая итерация вычисляется x = A\x, а затем шкала x своей нормой.

Создание разреженной матрицы A и случайные начальные векторы x1 и x2.

n = 1e3;
rng default % for reproducibility
A = sprandn(n,n,0.2) + speye(n);
x1 = randn(n,1);
x2 = x1;

Примените 100 итераций алгоритма обратной итерации с помощью обратной косой черты для вычисления собственного значения A.

tic
for ii=1:100
    x1 = A \ x1;
    x1 = x1 / norm(x1);
end
toc

Elapsed time is 13.154918 seconds.

lambda = x1'*A*x1

lambda = -0.6707

Теперь используйте decomposition объект для решения той же задачи.

tic
dA = decomposition(A); 
for ii=1:100
    x2 = dA \ x2;
    x2 = x2 / norm(x2);
end
toc

Elapsed time is 0.910174 seconds.

lambda = x2'*A*x2

lambda = -0.6707

Производительность алгоритма значительно повышается, поскольку матрица A не нуждается в факторизации во время каждой итерации. Кроме того, даже если алгоритм обратной косой черты может быть улучшен путем выполнения разложения LU A до for-loop, decomposition объект предоставляет доступ ко всем одинаковым достижениям производительности, не требуя написания сложного кода.

Выберите тип разложения для переопределения автоматического выбора по умолчанию на основе входной матрицы.

Создайте матрицу коэффициентов и разложите матрицу с использованием выбора по умолчанию типа разложения.

A = ones(3);
dA = decomposition(A)

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'ldl'

  Show all properties

Решите линейную систему с помощью вектора единиц для правой стороны.

b = ones(3,1);
x = dA\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 3×1

   NaN
   NaN
   NaN

Укажите тип разложения для использования 'qr' метод вместо метода по умолчанию 'ldl' способ. Это вынуждает обратную косую черту (\) находить решение задачи методом наименьших квадратов вместо возврата вектора NaNs.

dA_qr = decomposition(A,'qr')

dA_qr = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'qr'

  Show all properties

x = dA_qr\b

Warning: Rank deficient, rank = 1, tol =  1.153778e-15.

x = 3×1

     1
     0
     0

Определить 'upper' для использования только верхней треугольной части входной матрицы в разложении.

Создайте матрицу коэффициентов. Создайте треугольную декомпозицию для матрицы, используя только верхнюю треугольную часть. Эта опция может быть полезна в случаях, когда как верхняя треугольная, так и нижняя треугольная матрица хранятся в одной и той же матрице.

A = randi([0 5],10)

A = 10×10

     4     0     3     4     2     1     4     5     2     0
     5     5     0     0     2     4     1     1     4     0
     0     5     5     1     4     3     3     4     3     3
     5     2     5     0     4     0     4     1     3     4
     3     4     4     0     1     0     5     5     5     5
     0     0     4     4     2     2     5     2     1     0
     1     2     4     4     2     5     3     1     4     3
     3     5     2     1     3     2     0     1     4     2
     5     4     3     5     4     3     0     3     2     0
     5     5     1     0     4     1     1     2     3     2

dA = decomposition(A,'triangular','upper')

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [10 10]
          Type: 'triangular'

  Show all properties

Используйте 'CheckCondition' пара имя-значение для отключения предупреждений на основе условия матрицы коэффициентов при решении линейной системы с использованием decomposition.

Создайте плохо обусловленную матрицу коэффициентов. В этой матрице усреднение вместе первых двух столбцов приводит к получению третьего столбца.

A = [1 2 1.5; 3 4 3.5; 5 6 5.5]

A = 3×3

    1.0000    2.0000    1.5000
    3.0000    4.0000    3.5000
    5.0000    6.0000    5.5000

Решите линейную систему $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b, используя вектор 1s для правой стороны.mldivide выдает предупреждение о кондиционировании матрицы коэффициентов.

b = ones(3,1);
x = A\b

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  1.850372e-17.

x = 3×1

   -0.6250
    1.3750
   -0.7500

Теперь создайте decomposition объект для матрицы и решить одну и ту же линейную систему. Определить 'CheckCondition' как false чтобы mldivide не проверяет состояние матрицы коэффициентов. Несмотря на то, что возвращается то же решение, mldivide не отображает предупреждающее сообщение.

dA = decomposition(A,'CheckCondition',false);
x = dA\b

x = 3×1

   -0.6250
    1.3750
   -0.7500

Используйте isIllConditioned для проверки наличия decomposition объект основан на плохо обусловленной матрице.

tf = isIllConditioned(dA)

tf = logical
   1