Создайте матрицу и рассчитайте форму сокращенного эшелона строк. В этой форме матрица имеет начало 1 в поворотном положении каждого столбца.

A = magic(3)

A = 3×3

     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

RA = rref(A)

RA = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

Матрица магического квадрата 3 на 3 является полным рангом, поэтому форма уменьшенного эшелона строк является единичной матрицей.

Теперь вычислите уменьшенную форму эшелона строки магической квадратной матрицы 4 на 4. Укажите два выхода для возврата ненулевых опорных столбцов. Поскольку эта матрица имеет недостаток в ранге, результат не является единичной матрицей.

B = magic(4)

B = 4×4

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

[RB,p] = rref(B)

RB = 4×4

     1     0     0     1
     0     1     0     3
     0     0     1    -3
     0     0     0     0

p = 1×3

     1     2     3

Используйте исключение Гаусса (Gauss) - Джордана для дополненных матриц, чтобы решить линейную систему и вычислить обратную матрицу. Эти методы представляют главным образом академический интерес, поскольку существуют более эффективные и стабильные в числовом отношении способы расчета этих значений.

Создайте магическую квадратную матрицу 3 на 3. Добавьте дополнительный столбец в конец матрицы. Эта увеличенная матрица представляет линейную систему $\mathrm{Ax}\mathit{=}$b, с дополнительным столбцом, соответствующим $\mathit{}$ b.

A = magic(3);
A(:,4) = [1; 1; 1]

A = 3×4

     8     1     6     1
     3     5     7     1
     4     9     2     1

Рассчитать уменьшенную форму эшелона строк A. Проиндексировать в R для извлечения записей в дополнительном (дополненном) столбце, содержащем решение линейной системы.

R = rref(A)

R = 3×4

    1.0000         0         0    0.0667
         0    1.0000         0    0.0667
         0         0    1.0000    0.0667

x = R(:,end)

x = 3×1

    0.0667
    0.0667
    0.0667

Более эффективным способом решения этой линейной системы является оператор обратной косой черты, x = A\b.

Создайте аналогичную магическую квадратную матрицу, но на этот раз добавьте единичную матрицу того же размера к конечным столбцам.

A = [magic(3) eye(3)]

A = 3×6

     8     1     6     1     0     0
     3     5     7     0     1     0
     4     9     2     0     0     1

Рассчитать уменьшенную форму эшелона строк A. В этом виде дополнительные столбцы содержат обратную матрицу для магической квадратной матрицы 3 на 3.

R = rref(A)

R = 3×6

    1.0000         0         0    0.1472   -0.1444    0.0639
         0    1.0000         0   -0.0611    0.0222    0.1056
         0         0    1.0000   -0.0194    0.1889   -0.1028

inv_A = R(:,4:end)

inv_A = 3×3

    0.1472   -0.1444    0.0639
   -0.0611    0.0222    0.1056
   -0.0194    0.1889   -0.1028

Более эффективным способом вычисления обратной матрицы является использование inv(A).

Рассмотрим линейную систему уравнений с четырьмя уравнениями и тремя неизвестными.

Создайте дополненную матрицу, представляющую систему уравнений.

A = [1  1  5;
     2  1  8;
     1  2  7;
    -1  1 -1];
b = [6 8 10 2]';
M = [A b];

Использовать rref выразить систему в виде уменьшенного эшелона строк.

R = rref(M)

R = 4×4

     1     0     3     2
     0     1     2     4
     0     0     0     0
     0     0     0     0

Первые два ряда R содержат уравнения, которые выражают ${\mathit{}}_{\mathrm{x1}}$ и ${\mathit{}}_{\mathrm{x2}}$ в терминах ${\mathit{}}_{\mathrm{x3}}$. Вторые две строки подразумевают, что существует, по меньшей мере, одно решение, которое соответствует правому боковому вектору (в противном случае одно из уравнений будет читать $1\mathrm{=}$0). Третий столбец не содержит ось вращения, ${\mathit{поэтому}}_{\mathrm{}}$x3 является независимой переменной. Поэтому существует бесконечно много решений ${\mathit{для}}_{\mathrm{}}$x1 ${\mathit{и}}_{\mathrm{}}$x2, ${\mathit{и}}_{\mathrm{}}$x3 может быть выбран свободно.

Например, если ${\mathit{}}_{\mathrm{x3}}\mathrm{=}$1, ${\mathit{то}}_{\mathrm{}}x1\mathrm{}$= -1 ${\mathit{}}_{\mathrm{}}и\mathrm{}$x2 = 2.

С численной точки зрения, более эффективным способом решения этой системы уравнений является x0 = A\b, который (для прямоугольной матрицы A) вычисляет решение методом наименьших квадратов. В этом случае можно проверить точность решения с помощью norm(A*x0-b)/norm(b) и уникальность решения путем проверки rank(A) равно числу неизвестных. Если существует несколько решений, то все они имеют вид $\mathit{x}{\mathit{=}}_{\mathrm{}}\mathrm{x0}$+ nt, $\mathit{}$где n - пустое пространствоnull(A) и $\mathit{t}$ могут быть выбраны свободно.