Вычислите факторизацию LU матрицы и изучите результирующие факторы. Факторизация LU - это способ разложения матрицы $\mathit{A}$ на верхнюю треугольную матрицу $\mathit{U}$, нижнюю треугольную матрицу $\mathit{L}$и матрицу $\mathit{P\; перестановки}$так, что $\mathrm{PA}\mathrm{=}$LU. Эти матрицы описывают шаги, необходимые для выполнения гауссова исключения на матрице до тех пор, пока она не окажется в уменьшенной строковой эшелонной форме. $\mathit{}$Матрица L содержит все множители, и $\mathit{матрица}$ P перестановки учитывает перестановки строк.

Создайте матрицу 3 на 3 и рассчитайте коэффициенты логической единицы.

A = [10 -7 0
     -3  2 6
      5 -1 5];

[L,U] = lu(A)

L = 3×3

    1.0000         0         0
   -0.3000   -0.0400    1.0000
    0.5000    1.0000         0

U = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
         0    2.5000    5.0000
         0         0    6.2000

Умножьте коэффициенты для воссоздания A. С помощью синтаксиса с двумя входами lu включает матрицу перестановок P непосредственно в L фактор, такой, что L быть возвращенным действительно P'*L и, таким образом, A = L*U.

L*U

ans = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
   -3.0000    2.0000    6.0000
    5.0000   -1.0000    5.0000

Можно указать три выхода, чтобы отделить матрицу перестановки от умножителей в L.

[L,U,P] = lu(A)

L = 3×3

    1.0000         0         0
    0.5000    1.0000         0
   -0.3000   -0.0400    1.0000

U = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
         0    2.5000    5.0000
         0         0    6.2000

P = 3×3

     1     0     0
     0     0     1
     0     1     0

P'*L*U

ans = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
   -3.0000    2.0000    6.0000
    5.0000   -1.0000    5.0000

Решите линейную систему, выполнив факторизацию логической единицы и используя факторы для упрощения задачи. Сравните результаты с другими подходами, используя оператор обратной косой черты и decomposition объект.

Создайте магическую квадратную матрицу 5 на 5 и решите линейную систему $\mathrm{Ax}\mathit{=}$ b со всеми элементами b равно 65, магическая сумма. Поскольку 65 является магической суммой для этой матрицы (все строки и столбцы добавляют к 65), ожидаемое решение для x является вектором 1s.

A = magic(5);
b = 65*ones(5,1);
x = A\b

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Для универсальных квадратных матриц оператор обратной косой черты вычисляет решение линейной системы с использованием разложения LU. Разложение LU выражается A как произведение треугольных матриц, и линейные системы, включающие треугольные матрицы, легко решаются с помощью формул подстановки.

Чтобы воссоздать ответ, вычисленный обратной косой чертой, вычислите разложение LU A. Затем используйте коэффициенты для решения двух треугольных линейных систем:

y = L\(P*b);
x = U\y;

Такой подход предварительного вычисления матричных коэффициентов до решения линейной системы может улучшить производительность, когда будет решено множество линейных систем, поскольку факторизация происходит только один раз и не требует повторения.

[L,U,P] = lu(A)

L = 5×5

    1.0000         0         0         0         0
    0.7391    1.0000         0         0         0
    0.4783    0.7687    1.0000         0         0
    0.1739    0.2527    0.5164    1.0000         0
    0.4348    0.4839    0.7231    0.9231    1.0000

U = 5×5

   23.0000    5.0000    7.0000   14.0000   16.0000
         0   20.3043   -4.1739   -2.3478    3.1739
         0         0   24.8608   -2.8908   -1.0921
         0         0         0   19.6512   18.9793
         0         0         0         0  -22.2222

P = 5×5

     0     1     0     0     0
     1     0     0     0     0
     0     0     0     0     1
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0

y = L\(P*b);
x = U\y

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

decomposition объект также полезен для решения линейных систем с помощью специализированных факторизаций, так как вы получаете множество преимуществ производительности при предварительном вычислении матричных коэффициентов, но вам не нужно знать, как использовать факторы. Использовать объект разложения с 'lu' для повторного создания тех же результатов.

dA = decomposition(A,'lu');
x = dA\b

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Вычислите факторизацию LU разреженной матрицы и проверьте идентичность L*U = P*S*Q.

Создайте матрицу разреженного смежности 60 на 60 графа связности геодезического купола Бакминстера-Фуллера.

S = bucky;

Вычисление факторизации LU S использование синтаксиса разреженной матрицы с четырьмя выходами для возврата матриц перестановки строк и столбцов.

[L,U,P,Q] = lu(S);

Перестановка строк и столбцов S с P*S*Q и сравнить результат с умножением на треугольные коэффициенты L*U. 1-норма их разницы находится в пределах ошибки округления, указывая, что L*U = P*S*Q.

e = P*S*Q - L*U;
norm(e,1)

ans = 2.4425e-15

Вычислите факторизацию LU матрицы. Сохраните память, вернув перестановки строк в виде вектора вместо матрицы.

Создайте случайную матрицу 1000 на 1000.

A = rand(1000);

Вычислить факторизацию LU с помощью информации о перестановках, хранящейся в виде матрицы P. Сравнение результата с информацией перестановки, сохраненной в виде вектора p. Чем больше матрица, тем эффективнее память - использовать вектор перестановки.

[L1,U1,P] = lu(A);
[L2,U2,p] = lu(A,'vector');
whos P p

  Name         Size                Bytes  Class     Attributes

  P         1000x1000            8000000  double              
  p            1x1000               8000  double              

Использование вектора перестановки также экономит время выполнения в последующих операциях. Например, можно использовать предыдущие факторизации логической единицы для решения линейной системы $\mathrm{Ax}\mathit{=}$b. Хотя решения, полученные из вектора перестановки и матрицы перестановки, эквивалентны (вплоть до округления), решение, использующее вектор перестановки, обычно требует немного меньше времени.

Сравните результаты вычисления факторизации LU разреженной матрицы с перестановками столбцов и без них.

Загрузить west0479 матрица, которая является вещественно-значной 479 на 479 разреженной матрицей.

load west0479
A = west0479;

Расчет факторизации логической единицы A путем вызова lu с тремя выходами. Создание шпионских графиков L и U факторов.

[L,U,P] = lu(A);
subplot(1,2,1)
spy(L)
title('L factor')
subplot(1,2,2)
spy(U)
title('U factor')

Теперь рассчитайте факторизацию логической единицы A использование lu с четырьмя выходами, которые переставляют столбцы A для уменьшения числа ненулей в факторах. Результирующие факторы гораздо скуднее, чем если бы перестановки столбцов не использовались.

[L,U,P,Q] = lu(A);
subplot(1,2,1)
spy(L)
title('L factor')
subplot(1,2,2)
spy(U)
title('U factor')