Описание проблемы

Требуется смешать стали с различными химическими составами для получения 25 тонн стали с определенным химическим составом. Результат должен иметь 5% углерода и 5% молибдена по весу, что означает 25 тонн * 5% = 1,25 тонн углерода и 1,25 тонн молибдена. Целью является минимизация затрат на смешивание стали.

Эта проблема взята у Карла-Хенрика Вестерберга, Бенгта Бьорклунда и Эскила Хультмана, «Приложение программирования смешанных целых чисел на шведском сталелитейном заводе». Интерфейсы Февраль 1977 Том 7, № 2 стр. 39-43, реферат которого находится на https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39.

Для покупки доступны четыре слитка стали. Доступен только один слиток.

Для приобретения доступны три сорта легированной стали и один сорт металлолома. Легированные и лом стали можно приобрести в дробных количествах.

Чтобы сформулировать проблему, сначала необходимо определиться с контрольными переменными. Взять переменную x(1) = 1 означает, что вы покупаете слиток 1, и x(1) = 0 то есть вы не покупаете слиток. Аналогично, переменные x(2) через x(4) бинарные переменные, указывающие, приобретаете ли вы слитки с 2 по 4.

Переменные x(5) через x(7) - количества в тоннах сплавов 1, 2 и 3, которые вы покупаете, и x(8) - количество металлолома, которое вы приобретаете.

Состав MATLAB ®

Сформулировать проблему, указав входные данные для intlinprog. Соответствующее intlinprog синтаксис:

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

Создание входных данных для intlinprog от первого (f) через последнее (ub).

f - вектор коэффициентов затрат. Коэффициенты, представляющие стоимость слитков, являются весами слитков, умноженными на их стоимость на тонну.

f = [350*5,330*3,310*4,280*6,500,450,400,100];

Целочисленные переменные - первые четыре.

intcon = 1:4;

Совет: Чтобы указать двоичные переменные, установите их целыми числами в intcon, и дать им нижнюю границу 0 и верхняя граница 1.

Проблема не имеет линейных ограничений неравенства, поэтому A и b пустые матрицы ([]).

A = [];
b = [];

Проблема связана с тремя ограничениями равенства. Первое - общий вес 25 тонн.

5*x(1) + 3*x(2) + 4*x(3) + 6*x(4) + x(5) + x(6) + x(7) + x(8) = 25

Второе ограничение состоит в том, что вес углерода составляет 5% от 25 тонн, или 1,25 тонны.

5*0.05*x(1) + 3*0.04*x(2) + 4*0.05*x(3) + 6*0.03*x(4)

+ 0.08*x(5) + 0.07*x(6) + 0.06*x(7) + 0.03*x(8) = 1.25

Третье ограничение заключается в том, что вес молибдена составляет 1,25 тонн.

5*0.03*x(1) + 3*0.03*x(2) + 4*0.04*x(3) + 6*0.04*x(4)

+ 0.06*x(5) + 0.07*x(6) + 0.08*x(7) + 0.09*x(8) = 1.25

Укажите ограничения Aeq * x = beq в матричной форме.

Aeq = [5,3,4,6,1,1,1,1;
    5*0.05,3*0.04,4*0.05,6*0.03,0.08,0.07,0.06,0.03;
    5*0.03,3*0.03,4*0.04,6*0.04,0.06,0.07,0.08,0.09];
beq = [25;1.25;1.25];

Каждая переменная ограничена нулем. Целочисленные переменные ограничены выше единицей.

lb = zeros(8,1);
ub = ones(8,1);
ub(5:end) = Inf; % No upper bound on noninteger variables

Решить проблему

Теперь, когда у вас есть все входные данные, вызовите решатель.

[x,fval] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

LP:                Optimal objective value is 8125.600000.                                          

Cut Generation:    Applied 3 mir cuts.                                                              
                   Lower bound is 8495.000000.                                                      
                   Relative gap is 0.00%.                                                          


Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap
tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default
value). The intcon variables are integer within tolerance,
options.IntegerTolerance = 1e-05 (the default value).

Просмотрите решение.

x,fval

x = 8×1

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000
    7.2500
         0
    0.2500
    3.5000

fval = 8.4950e+03

Оптимальная покупка стоит 8 495 долларов. Купите слитки 1, 2 и 4, но не 3, и купите 7,25 тонны сплава 1, 0,25 тонны сплава 3 и 3,5 тонны металлолома.

Набор intcon = [] чтобы увидеть эффект решения задачи без целочисленных ограничений. Решение другое, и нереально, потому что нельзя приобрести часть слитка.