Описание проблемы

Требуется смешать стали с различными химическими составами для получения 25 тонн стали с определенным химическим составом. Результат должен иметь 5% углерода и 5% молибдена по весу, что означает 25 тонн * 5% = 1,25 тонн углерода и 1,25 тонн молибдена. Целью является минимизация затрат на смешивание стали.

Эта проблема взята у Карла-Хенрика Вестерберга, Бенгта Бьорклунда и Эскила Хультмана, «Приложение программирования смешанных целых чисел на шведском сталелитейном заводе». Интерфейсы Февраль 1977 Том 7, № 2 стр. 39-43, реферат которого находится на https://doi.org/10.1287/inte.7.2.39.

Для покупки доступны четыре слитка стали. Доступен только один слиток.

Для приобретения доступны три сорта легированной стали и один сорт металлолома. Легированные и лом стали можно приобрести в дробных количествах.

Сформулировать проблему

Чтобы сформулировать проблему, сначала необходимо определиться с контрольными переменными. Взять переменную ingots(1) = 1 означает, что вы приобретаете слиток 1, и ingots(1) = 0 означает, что вы не покупаете слиток. Аналогично, переменные ingots(2) через ingots(4) бинарные переменные, указывающие, приобретаете ли вы слитки с 2 по 4.

Переменные alloys(1) через alloys(3) это количества в тоннах сплавов 1, 2 и 3, которые вы покупаете. scrap - количество металлолома, которое вы приобретаете.

steelprob = optimproblem;
ingots = optimvar('ingots',4,'Type','integer','LowerBound',0,'UpperBound',1);
alloys = optimvar('alloys',3,'LowerBound',0);
scrap = optimvar('scrap','LowerBound',0);

Создайте выражения для затрат, связанных с переменными.

weightIngots = [5,3,4,6];
costIngots = weightIngots.*[350,330,310,280];
costAlloys = [500,450,400];
costScrap = 100;
cost = costIngots*ingots + costAlloys*alloys + costScrap*scrap;

Включите стоимость в качестве целевой функции в задачу.

steelprob.Objective = cost;

Проблема связана с тремя ограничениями равенства. Первое ограничение состоит в том, что общий вес составляет 25 тонн. Рассчитайте вес стали.

totalWeight = weightIngots*ingots + sum(alloys) + scrap;

Второе ограничение состоит в том, что вес углерода составляет 5% от 25 тонн, или 1,25 тонны. Рассчитайте вес углерода в стали.

carbonIngots = [5,4,5,3]/100;
carbonAlloys = [8,7,6]/100;
carbonScrap = 3/100;
totalCarbon = (weightIngots.*carbonIngots)*ingots + carbonAlloys*alloys + carbonScrap*scrap;

Третье ограничение заключается в том, что вес молибдена составляет 1,25 тонн. Рассчитайте вес молибдена в стали.

molybIngots = [3,3,4,4]/100;
molybAlloys = [6,7,8]/100;
molybScrap = 9/100;
totalMolyb = (weightIngots.*molybIngots)*ingots + molybAlloys*alloys + molybScrap*scrap;

Включите в проблему ограничения.

steelprob.Constraints.conswt = totalWeight == 25;
steelprob.Constraints.conscarb = totalCarbon == 1.25;
steelprob.Constraints.consmolyb = totalMolyb == 1.25;

Решить проблему

Теперь, когда у вас есть все входные данные, вызовите решатель.

[sol,fval] = solve(steelprob);

Solving problem using intlinprog.
LP:                Optimal objective value is 8125.600000.                                          

Cut Generation:    Applied 3 mir cuts.                                                              
                   Lower bound is 8495.000000.                                                      
                   Relative gap is 0.00%.                                                          


Optimal solution found.

Intlinprog stopped at the root node because the objective value is within a gap
tolerance of the optimal value, options.AbsoluteGapTolerance = 0 (the default
value). The intcon variables are integer within tolerance,
options.IntegerTolerance = 1e-05 (the default value).

Просмотрите решение.

sol.ingots

ans = 4×1

    1.0000
    1.0000
         0
    1.0000

sol.alloys

ans = 3×1

    7.2500
         0
    0.2500

sol.scrap

ans = 3.5000

fval

fval = 8.4950e+03

Оптимальная покупка стоит 8 495 долларов. Купите слитки 1, 2 и 4, но не 3, и купите 7,25 тонны сплава 1, 0,25 тонны сплава 3 и 3,5 тонны металлолома.