Уравнение, описывающее эволюцию системы

Рассмотрим неустойчивую установку с 2 входами и 2 выходами. Уравнение, описывающее эволюцию системы $$x(t),$$

где $$u(t$$) - входной (управляющий) сигнал. Выходной сигнал системы:

Матрицы $$A$$, $$B$$и $$C$$ представляют собой

A =  [ -0.5  0  0;  0  -2  10;  0  1  -2 ];
B =  [ 1  0;  -2  2;  0  1 ];
C =  [ 1  0  0;  0  0  1 ];

Цель оптимизации

Предположим, что управляющий сигнал $$u(t$$) установлен пропорционально выходному сигналу $$y($$t):

для некоторой матрицы $$К$$.

Это означает, что эволюция системы $$x(t$$) такова:

Целью оптимизации является проектирование $$K$$, имеющего следующие два свойства:

1. Действительные части собственных значений $$(A+$$BKC) меньше [-5, -3, -1]. (В литературе по управлению это называется размещением полюсов.)

2. abs $$($$K) < = 4 (каждый элемент $$$$K находится между -4 и 4)

Чтобы решить оптимизацию, сначала задайте многообъективные цели:

goal = [-5, -3, -1];

Установите веса, равные целям, чтобы обеспечить одинаковый процент недостижения или чрезмерного достижения целей.

weight = abs(goal);

Инициализация контроллера выходной обратной связи

K0 = [ -1 -1; -1 -1];

Установить верхний и нижний границы на контроллере

lb = repmat(-4,size(K0)) 

lb = 2×2

    -4    -4
    -4    -4

ub = repmat(4,size(K0))

ub = 2×2

     4     4
     4     4

Задайте параметр отображения оптимизации для вывода на каждой итерации:

options = optimoptions('fgoalattain','Display','iter');

Создайте векторнозначную функцию eigfun, которая возвращает собственные значения системы замкнутого цикла. Эта функция требует дополнительных параметров (а именно, матриц $$А$$, $$В$$и $$С$$); наиболее удобным способом их передачи является анонимная функция:

eigfun = @(K) sort(eig(A+B*K*C));

Решатель оптимизации вызовов

Чтобы начать оптимизацию, вызываем fgoalattain:

[K,~,attainfactor] = ...
        fgoalattain(eigfun,K0,goal,weight,[],[],[],[],lb,ub,[],options);

                 Attainment        Max     Line search     Directional 
 Iter F-count        factor    constraint   steplength      derivative   Procedure 
    0      6              0       1.88521                                            
    1     13          1.031       0.02998            1           0.745     
    2     20         0.3525       0.06863            1          -0.613     
    3     27        -0.1706        0.1071            1          -0.223    Hessian modified  
    4     34        -0.2236       0.06654            1          -0.234    Hessian modified twice  
    5     41        -0.3568      0.007894            1         -0.0812     
    6     48        -0.3645      0.000145            1          -0.164    Hessian modified  
    7     55        -0.3645             0            1        -0.00515    Hessian modified  
    8     62        -0.3675     0.0001546            1        -0.00812    Hessian modified twice  
    9     69        -0.3889      0.008328            1        -0.00751    Hessian modified  
   10     76        -0.3862             0            1         0.00568     
   11     83        -0.3863     2.955e-13            1          -0.998    Hessian modified twice  

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Значение управляющих параметров в решении:

K

K = 2×2

   -4.0000   -0.2564
   -4.0000   -4.0000

Собственные значения системы с замкнутым контуром находятся в собственном fun (K) следующим образом: (они также удерживаются в выходном fval)

eigfun(K)

ans = 3×1

   -6.9313
   -4.1588
   -1.4099

Коэффициент достижения указывает на уровень достижения цели. Отрицательный коэффициент достижения указывает на чрезмерное достижение, положительный - на недостаточное достижение. Показатель стоимости, полученный в этом прогоне, указывает на то, что цели были перевыполнены почти на 40 процентов:

attainfactor

attainfactor = -0.3863

Эволюция системы через решение к ОДУ

Вот как система $$x(t$$) развивается от времени 0 к времени 4, используя вычисленную матрицу обратной связи $$$$K, начиная с точки x (0) = [1; 1; 1].

Сначала решите дифференциальное уравнение:

[Times, xvals] = ode45(@(u,x)((A + B*K*C)*x),[0,4],[1;1;1]);

Затем постройте график результата:

plot(Times,xvals)
legend('x_1(t)','x_2(t)','x_3(t)','Location','best')
xlabel('t');
ylabel('x(t)');

Установить цели, которые должны быть достигнуты точно

Предположим, теперь мы требуем, чтобы собственные значения были как можно ближе к целевым значениям, [-5, -3, -1]. Набор options.EqualityGoalCount к числу целей, которые должны быть как можно ближе к целям (т.е. не пытайтесь перевыполнить):

Все три цели должны быть как можно ближе к целям.

options.EqualityGoalCount = 3;

Решатель оптимизации вызовов

Мы готовы вызвать решатель оптимизации:

[K,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = ...
    fgoalattain(eigfun,K0,goal,weight,[],[],[],[],lb,ub,[],options);

                 Attainment        Max     Line search     Directional 
 Iter F-count        factor    constraint   steplength      derivative   Procedure 
    0      6              0       1.88521                                            
    1     13          1.031       0.02998            1           0.745     
    2     20         0.3525       0.06863            1          -0.613     
    3     27         0.1528     -0.009105            1           -0.22    Hessian modified  
    4     34        0.02684       0.03722            1          -0.166    Hessian modified  
    5     41       4.51e-17      0.005703            1          -0.116    Hessian modified  
    6     48     -1.242e-18     9.626e-06            1       -3.99e-15    Hessian modified  
    7     55     -6.783e-22     4.925e-11            1        6.55e-14    Hessian modified  

Local minimum possible. Constraints satisfied.

fgoalattain stopped because the size of the current search direction is less than
twice the value of the step size tolerance and constraints are 
satisfied to within the value of the constraint tolerance.

Значение управляющих параметров при этом решении:

K

K = 2×2

   -1.5953    1.2040
   -0.4201   -2.9047

На этот раз собственные значения системы замкнутого контура, которые также удерживаются на выходе fval, следующие:

eigfun(K)

ans = 3×1

   -5.0000
   -3.0000
   -1.0000

Фактором достижения является уровень достижения цели. Отрицательный коэффициент достижения указывает на чрезмерное достижение, положительный - на недостаточное достижение. Полученный низкий достижимый коэффициент указывает на то, что собственные значения почти точно достигли целей:

attainfactor

attainfactor = -6.7825e-22

Эволюция новой системы через решение к ОДУ

Вот как система $$x(t$$) развивается от времени 0 к времени 4, используя новую вычисленную матрицу обратной связи $$$$K, начиная с точки x (0) = [1; 1; 1].

Сначала решите дифференциальное уравнение:

[Times, xvals] = ode45(@(u,x)((A + B*K*C)*x),[0,4],[1;1;1]);

Затем постройте график результата:

plot(Times,xvals)
legend('x_1(t)','x_2(t)','x_3(t)','Location','best')
xlabel('t');
ylabel('x(t)');