Динамический анализ зажатой балки

В этом примере показано, как анализировать динамическое поведение балки при равномерной нагрузке давления и зажиме на обоих концах.

В этом примере используется система единиц измерения Imperial. При замене их значениями, заданными в метрической системе, убедитесь, что все значения заданы с использованием одной и той же системы.

В этом примере нагрузка под давлением внезапно прикладывается в момент времени, равный нулю. Величина давления достаточно высока, чтобы создавать отклонения в том же порядке, что и толщина луча. Точное прогнозирование этого типа поведения требует геометрически нелинейных уравнений упругости. Этот пример решает проблему упругости зажатого луча, используя как линейные, так и нелинейные формулировки уравнений упругости.

Один из подходов к обработке больших отклонений заключается в рассмотрении уравнений упругости в деформированном положении. Однако на панели инструментов используются уравнения, основанные на исходной геометрии. Поэтому необходимо использовать формулировку Лагранжа нелинейной упругости, где напряжения, деформации и координаты относятся к исходной геометрии. Лагранжева формулировка уравнений равновесия

где $$\mathrm{start}$$- плотность материала, $$u$$ - вектор смещения, $$F$$ - градиент деформации, $$S$$ - второй тензор напряжения Пиолы-Кирхоффа, f $$$$- вектор силы тела. Можно также записать это уравнение в тензорную форму:

Хотя эта формулировка учитывает большие отклонения, она предполагает, что деформации остаются небольшими, так что применяются линейные упругие конститутивные соотношения. Для случая напряжения плоскости 2-D можно записать конститутивные соотношения в матричной форме:

$${}_{\mathrm{Eij}}$$ - тензор штамма Грина-Лагранжа:

Для изотропного материала:

где $$E$$ - модуль Юнга, а $$\mathrm{start}$$- отношение Пуассона. Подробнее о лагранжевой формулировке нелинейной эластичности см. [1].

Эти уравнения полностью определяют задачу геометрически нелинейного плоского напряжения. В этом примере символьные математические Toolbox™ используются для определения коэффициента c в форме, требуемой дифференциальным уравнением Toolbox™ в частных производных. Коэффициент c является функцией cCoefficientLagrangePlaneStress. Его можно использовать с любым анализом геометрических нелинейных плоскостей модели, выполненной из изотропного материала. Вы можете найти его под matlab/R20XXx/examples/pde/main.

model = createpde(2);

blength = 5; % Beam length, in
height = 0.1; % Thickness of the beam, in

l2 = blength/2;
h2 = height/2;

rect = [3 4 0 l2 l2 0 -h2 -h2  h2 h2]';
g = decsg(rect,'R1',('R1')');

pg = geometryFromEdges(model,g);

figure
pdegplot(g,'EdgeLabels','on')
axis([-.1 1.1*l2 -5*h2 5*h2])

E = 3.0e7; % Young's modulus of the material, lbs/in^2
gnu = 0.3; % Poisson's ratio of the material
rho = 0.3/386; % Density of the material
G = E/(2.*(1 + gnu));
mu = 2*G*gnu/(1 - gnu);
c = [2*G + mu; 0; G;   0; G; mu; 0;  G; 0; 2*G + mu];
f = [0 0]'; % No body forces
specifyCoefficients(model,'m',rho,'d',0,'c',c,'a',0,'f',f);

symBC = applyBoundaryCondition(model,'mixed','Edge',4,'u',0,'EquationIndex',1);

clampedBC = applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',2,'u',[0 0]);

sigma = 2e2;
presBC = applyBoundaryCondition(model,'neumann','Edge',3,'g',[0 sigma]);

setInitialConditions(model,0,0);

generateMesh(model);

tlist = linspace(0,3e-3,100);
result = solvepde(model,tlist);

xc = 1.25;
yc = 0;
u4Linear = interpolateSolution(result,xc,yc,2,1:length(tlist));

c  = @(location,state) cCoefficientLagrangePlaneStress(E,gnu,location,state);
specifyCoefficients(model,'m',rho,'d',0,'c', c,'a',0,'f',f);

result = solvepde(model,tlist);

u4NonLinear = interpolateSolution(result,xc,yc,2,1:length(tlist));

figure
plot(tlist,u4Linear(:),tlist,u4NonLinear(:))
legend('Linear','Nonlinear')
title 'Deflection at Beam Center'
xlabel 'Time, seconds'
ylabel 'Deflection, inches'
grid on