Решатели LMI предусмотрены для следующих трех общих задач оптимизации (здесь x обозначает вектор переменных решения, то есть свободных записей переменных матрицы X1,., XK):
Проблема выполнимости
Найти x ∊ RN (или эквивалентно матрицы X1,., XK с заданной структурой), которая удовлетворяет системе LMI
A (x) < B (x)
Соответствующий решатель называется feasp.
Минимизация линейной цели при ограничениях LMI
Минимизация cTx над x ∊ RN при условии A (x) < B (x)
Соответствующий решатель называется mincx.
Обобщенная задача минимизации собственных значений
Минимизировать λ свыше x ∊ RN при условии
C (x) < D (x)
0 < B (x)
A (x) < λ B (x).
Соответствующий решатель называется gevp.
Заметим, что A (x) < B (x) выше является кратким обозначением для общих структурированных систем LMI с переменными решения x = (x1,., xN).
Три решателя LMI feasp, mincx, и gevp взять в качестве входных данных внутреннее представление LMISYS системы LMI и возвращают осуществимое или оптимизирующее значение x * переменных принятия решения. Соответствующие значения матричных переменных X1,.., XK выводятся из x * с функцией dec2mat. Эти решатели являются C-MEX реализациями проективного алгоритма проективного алгоритма проективного алгоритма полиномиального времени Нестерова и Немировского [3], [2].
Для обобщенных задач минимизации собственных значений необходимо различать стандартные ограничения LMI C (x) < D (x) и линейно-дробные LMI.
A (x) < λ B (x)
прилагается к минимизации обобщенного собственного значения λ. При использовании gevp, вы должны следовать этим трем правилам, чтобы обеспечить правильное определение проблемы:
Укажите LMI, включающие λ в качестве A (x) < B (x) (без λ)
Укажите их последними в системе LMI. gevp систематически предполагает, что последние L LMI являются линейно-дробными, если L является числом LMI, включающим λ
Добавьте ограничение 0 < B (x) или любое другое ограничение, которое его применяет. Это ограничение позитивности требуется для обоснованности проблемы и не добавляется автоматически gevp.
Начальное предположение xinit для x может быть предоставлено mincx или gevp. Использовать mat2dec произойти xinit из заданных значений матричных переменных X1,.., XK.
Пример Минимизация линейных целей при ограничениях LMI иллюстрирует использование mincx решатель.