Обнаружение близко расположенных синусоид

Рассмотрим синусоиду, $$f(x){}^{=\mathrm{}}$$ej2xeonstartx, окнами с гауссовым $$\mathrm{окном},g{(}^{t){}^{\mathrm{=}}}$$e-securityt2. Кратковременное преобразование:

При рассмотрении в качестве функции частоты, преобразование объединяет постоянное (во времени) колебание в, $$$$с гауссовым распадом, удаленным от него. Оценка синхроимпульсов мгновенной частоты,

равно значению, полученному с помощью стандартного определения, $$(\mathrm{}\mathrm{2\delta }{)}^{\mathrm{-}}\mathrm{}1dargf(x)$$/dx. Для наложения синусоид,

кратковременное преобразование становится

Создайте 1024 выборки сигнала, состоящего из двух синусоид. При этом одна синусоида имеет нормализованную частоту, составляющую $${}_{\mathrm{\lambda \; 0}}=\mathrm{}$$λ/5 рад/образец. Другая синусоида имеет в три раза большую частоту и в три раза большую амплитуду.

N = 1024;
n = 0:N-1;

w0 = pi/5;
x = exp(1j*w0*n)+3*exp(1j*3*w0*n);

Вычислите кратковременное преобразование Фурье сигнала. Используйте 256-образное окно Гаусса с $$\alpha \mathrm{=}\mathrm{}$$20, 255 выборок перекрытия между соседними секциями и 1024 точками DFT. Постройте график абсолютного значения преобразования.

Nw = 256;
nfft = 1024;
alpha = 20;

[s,w,t] = spectrogram(x,gausswin(Nw,alpha),Nw-1,nfft,'centered');

surf(t,w/pi,abs(s),'EdgeColor','none')
view(2)
axis tight
xlabel('Samples')
ylabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')

Синхронизированное преобразование Фурье приводит к более резкой, лучше локализованной оценке спектра.

[ss,sw,st] = fsst(x,[],gausswin(Nw,alpha));

fsst(x,'yaxis')

Синусоиды видны как постоянные колебания при ожидаемых значениях частоты. Чтобы увидеть, что распад от гребней является гауссовым, постройте график мгновенного значения преобразования и наложите два экземпляра гауссова. Выразить гауссову амплитуду и стандартное отклонение в терминах $$\alpha$$ и длины окна. Напомним, что стандартное отклонение окна частотной области является обратным от стандартного отклонения окна временной области.

rstdev = (Nw-1)/(2*alpha);
amp = rstdev*sqrt(2*pi);

instransf = abs(s(:,128));

plot(w/pi,instransf)
hold on
plot(w/pi,[1 3]*amp.*exp(-rstdev^2/2*(w-[1 3]*w0).^2),'--')
hold off
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
lg = legend('Transform','First sinusoid','Second sinusoid');
lg.Location = 'best';

Синхронизированное преобразование Фурье концентрирует энергетическое содержание сигнала на оцененных мгновенных частотах.

stem(sw/pi,abs(ss(:,128)))
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
title('Synchrosqueezed Transform')

Синхронизированные оценки мгновенной частоты действительны, только если синусоиды разделены более чем $$\mathrm{}\mathrm{2\Delta }$$, где

поскольку Гауссовское окно и $$\sigma$$ - стандартное отклонение.

Повторите предыдущее вычисление, но теперь укажите, что вторая синусоида имеет нормализованную частоту, составляющую $${}_{\mathrm{start0}}\mathrm{+}1$$.9Δ рад/образец.

D = sqrt(2*log(2))/rstdev;

w1 = w0+1.9*D;

x = exp(1j*w0*n)+3*exp(1j*w1*n);

[s,w,t] = spectrogram(x,gausswin(Nw,alpha),Nw-1,nfft,'centered');
instransf = abs(s(:,20));

plot(w/pi,instransf)
hold on
plot(w/pi,[1 3]*amp.*exp(-rstdev^2/2*(w-[w0 w1]).^2),'--')
hold off
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
lg = legend('Transform','First sinusoid','Second sinusoid');
lg.Location = 'best';

Синхронизированное преобразование Фурье не может хорошо разрешить синусоиды, так как $$|{}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}start1-start0\mathrm{|}$$< 2Δ. Спектральные оценки значительно уменьшаются в значении.

[ss,sw,st] = fsst(x,[],gausswin(Nw,alpha));

stem(sw/pi,abs(ss(:,128)))
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
title('Synchrosqueezed Transform')

См. также

fsst | gausswin | ifsst | spectrogram

Связанные темы

• Преобразование Гильберта и мгновенная частота
• Мгновенная частота комплексного чирпа
• Практическое введение в частотно-временной анализ