Exponenta Banner
exponenta event banner

Моделирование цепи RLC серии

Открыть модель

Физические системы могут быть описаны как ряд дифференциальных уравнений в неявной форме, $F\left(t,x,\dot{\left\lbrace x\right\rbrace } \right)=0$или в неявной форме состояния-пространства $E\dot{x} =A\;x+B\;u\;$

Если$E$ не является сингулярной, то система может быть легко преобразована в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и решена как таковая:

$$\dot{x} =\left(E^{-1} A\right)x+\left(E^{-1} B\right)u$$

Много раз появляются состояния системы без прямого отношения к их производным, обычно представляющие законы физической консервации. Например:

$$\begin{array}{l}\dot{x_1 } =x_2 \\0\;=x_1 +x_2 \end{array}$$

В этом случае$E$ является единственным и не может быть инвертирован. Этот класс систем обычно называют дескрипторными системами, а уравнения - дифференциально-алгебраическими уравнениями (DAE).

Схема RLC серии

Рассмотрим простую последовательную схему RLC.

Из закона Кирхоффа о напряжении падение напряжения на цепи равно сумме падения напряжения на каждом из ее элементов:

$$V_{AC} = V_R+V_L+V_C$$

Из действующего закона Кирхоффа:

$$I_{AC}=I_R=I_L=I_C$$

где нижние индексы, $R$$L$и$C$ обозначают сопротивление, индуктивность и емкость соответственно.

$V_{R} =I\left(t\right)R$

$V_L =L\dot{I_L }$ или $\dot{I_L } = \frac{1}{L}V_L$

$V_C =V_{AC} \left(0\right)+\int_0^t I_C \left(\tau \right)d\tau$ или $\dot{V_c } =\frac{1}{C}I_c$

В неявной форме состояния-пространства

Смоделируйте систему в Simulink с$R=10\;\Omega$$L=1\times {10}^{-6} \;H$, $C=1\times {10}^{-4} F$чтобы найти напряжение через резистор. $V_R$Чтобы использовать блок Descriptor State-Space, система может быть записана в неявную или дескрипторную форму state-space$E\dot{x}=Ax+Bu$, как показано ниже.

$$\left\lbrack \begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0
& 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right\rbrack
\left\lbrack \begin{array}{c}\dot{V_C } \\\dot{V_L } \\\dot{V_R } \\\dot{I_L
} \\\dot{I_{AC} } \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{ccccc}0
& 0 & 0 & \frac{1}{C} & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & R & 0\\0 & \frac{1}{L}
& 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{c}V_C
\\V_L \\V_R \\I_L \\I_{AC} \end{array}\right\rbrack +\left\lbrack \begin{array}{c}0\\-1\\0\\0\\0\end{array}\right\rbrack
V_{AC}$$

где$x = {\left\lbrack \begin{array}{ccccc}V_C &V_L& V_R& I_L& I_{AC}\end{array}\right\rbrack}^T$ - вектор состояния.

Устанавливается$C=\left\lbrack \begin{array}{ccccc}0&0& 1& 0&0\end{array}\right\rbrack$ с момента измерения напряжения на резисторе.

Сравните это с моделированием системы с алгебраическим циклом, чтобы найти.$V_R$

Моделирование обеих моделей дает одинаковые результаты. Однако блок Descriptor State-Space позволяет сделать более простую блок-схему и избежать алгебраических циклов.

См. также

Алгебраические концепции цикла

Модель дифференциальных алгебраических уравнений

Документация Simulink

Поддержка