Вычислите доверительный интервал для индекса возможностей в статистическом управлении процессом.

Создайте 30 случайных чисел из нормального распределения со средним значением 1 и стандартным отклонением 1.

rng('default') % For reproducibility
y = normrnd(1,1,30,1);

Укажите нижний и верхний пределы спецификации процесса. Определите индекс возможностей.

LSL = -3;
USL = 3;
capable = @(x)(USL-LSL)./(6*std(x));

Вычислите 95% доверительный интервал для индекса возможностей, используя 2000 выборок начальной загрузки. По умолчанию bootci использует метод коррекции смещения и ускоренного процентиля для построения доверительного интервала.

ci = bootci(2000,capable,y)

ci = 2×1

    0.5937
    0.9900

Вычислите изученный доверительный интервал для индекса возможностей.

sci = bootci(2000,{capable,y},'Type','student')

sci = 2×1

    0.5193
    0.9930

Вычислите доверительные интервалы начальной загрузки для коэффициентов модели нелинейной регрессии. Метод, используемый в этом примере, включает в себя начальную загрузку предиктора и значений ответа и предполагает, что предикторная переменная является случайной. Метод, предполагающий, что переменная предиктора фиксирована и загружает остатки, см. в разделе Доверительные интервалы начальной загрузки для коэффициентов модели линейной регрессии.

Примечание.В этом примере используется nlinfit, что полезно, когда нужны только оценки коэффициентов или остатки нелинейной регрессионной модели, и нужно повторить подгонку модели несколько раз, как в случае начальной загрузки. Если необходимо дополнительно исследовать подогнанную регрессионную модель, создайте объект нелинейной регрессионной модели с помощью fitnlm. Можно создать доверительные интервалы для коэффициентов результирующей модели с помощью coefCI объектная функция, хотя эта функция не использует функцию начальной загрузки.

Создайте данные из модели нелинейной регрессии $${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}\mathrm{y=b1+b2\cdot exp}({-}_{\mathrm{}}b3x)$$+ϵ, $${\mathrm{где}}_{\mathrm{}}\mathrm{b1}$$= $${}_1,\mathrm{}$$b2 = 3 $${}_{\mathrm{}}\mathrm{}$$и b3 = 2 - коэффициенты; переменная x предиктора экспоненциально распределена со средним значением 2; и $$$$термин ошибки ϵ обычно распределяется со средним значением 0 и стандартным отклонением 0,1.

modelfun = @(b,x)(b(1)+b(2)*exp(-b(3)*x));

rng('default') % For reproducibility
b = [1;3;2];
x = exprnd(2,100,1);
y = modelfun(b,x) + normrnd(0,0.1,100,1);

Создайте дескриптор функции для модели нелинейной регрессии, использующей начальные значения в beta0.

beta0 = [2;2;2];
beta = @(predictor,response)nlinfit(predictor,response,modelfun,beta0)

beta = function_handle with value:
    @(predictor,response)nlinfit(predictor,response,modelfun,beta0)

Вычислите 95% доверительные интервалы начальной загрузки для коэффициентов модели нелинейной регрессии. Создание образцов начальной загрузки из сгенерированных данных x и y.

ci = bootci(1000,beta,x,y)

ci = 2×3

    0.9821    2.9552    2.0180
    1.0410    3.1623    2.2695

Первые два доверительных интервала включают в себя истинные значения коэффициентов $${}_{\mathrm{b1}}\mathrm{=}$$ 1 $${и}_{\mathrm{}}\mathrm{b2}$$= 3 соответственно. Однако третий доверительный интервал не включает истинное $${}_{\mathrm{}}значение\; коэффициента\mathrm{}$$b3 = 2.

Теперь вычислите 99% доверительные интервалы начальной загрузки для коэффициентов модели.

newci = bootci(1000,{beta,x,y},'Alpha',0.01)

newci = 2×3

    0.9730    2.9112    1.9562
    1.0469    3.1876    2.3133

Все три доверительных интервала включают истинные значения коэффициентов.

Вычислите доверительные интервалы начальной загрузки для коэффициентов модели линейной регрессии. Метод, используемый в этом примере, включает начальную загрузку остатков и предполагает, что переменная предиктора является фиксированной. Метод, предполагающий, что предикторная переменная является случайной и загружает предиктор и значения ответа, см. в разделе Доверительные интервалы начальной загрузки для коэффициентов модели нелинейной регрессии.

Примечание.В этом примере используется regress, что полезно, когда нужны только оценки коэффициентов или остатки регрессионной модели, и нужно повторить подгонку модели несколько раз, как в случае начальной загрузки. Если необходимо дополнительно исследовать подогнанную регрессионную модель, создайте объект модели линейной регрессии с помощью fitlm. Можно создать доверительные интервалы для коэффициентов результирующей модели с помощью coefCI объектная функция, хотя эта функция не использует функцию начальной загрузки.

Загрузите образцы данных.

load hald

Выполните линейную регрессию и вычислите остатки.

x = [ones(size(heat)),ingredients];
y = heat;
b = regress(y,x);
yfit = x*b;
resid = y - yfit;

Вычислите 95% доверительные интервалы начальной загрузки для коэффициентов модели линейной регрессии. Создайте образцы начальной загрузки из остатков. Используйте нормальные аппроксимированные интервалы с загрузочным смещением и стандартной ошибкой, указав 'Type','normal'. В этом случае нельзя использовать тип доверительного интервала по умолчанию.

ci = bootci(1000,{@(bootr)regress(yfit+bootr,x),resid}, ...
    'Type','normal')

ci = 2×5

  -47.7130    0.3916   -0.6298   -1.0697   -1.2604
  172.4899    2.7202    1.6495    1.2778    0.9704

Постройте график расчетных коэффициентов b, исключая член перехвата и отображая полосы ошибок, показывающие доверительные интервалы коэффициентов.

slopes = b(2:end)';
lowerBarLengths = slopes-ci(1,2:end);
upperBarLengths = ci(2,2:end)-slopes;
errorbar(1:4,slopes,lowerBarLengths,upperBarLengths)
xlim([0 5])
title('Coefficient Confidence Intervals')

Только первый неинтерцептный коэффициент существенно отличается от 0.

Вычислите среднее и стандартное отклонения 100 выборок начальной загрузки. Найдите 95% доверительный интервал для каждой статистики.

Создайте 100 случайных чисел из экспоненциального распределения со средним значением 5.

rng('default') % For reproducibility
y = exprnd(5,100,1);

Нарисуйте 100 образцов начальной загрузки из вектора y. Для каждого образца начальной загрузки вычислите среднее значение и стандартное отклонение. Найдите 95% доверительный интервал начальной загрузки для среднего и стандартного отклонения.

[ci,bootstat] = bootci(100,@(x)[mean(x) std(x)],y);

ci(:,1) содержит нижнюю и верхнюю границы среднего доверительного интервала, и c(:,2) содержит нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала стандартного отклонения. Каждая строка bootstat содержит среднее и стандартное отклонения образца начальной загрузки.

Постройте график среднего и стандартного отклонения каждого образца начальной загрузки в качестве точки. Постройте график нижней и верхней границ среднего доверительного интервала в виде пунктирных вертикальных линий и график нижней и верхней границ доверительного интервала стандартного отклонения в виде пунктирных горизонтальных линий.

plot(bootstat(:,1),bootstat(:,2),'o')
xline(ci(1,1),':')
xline(ci(2,1),':')
yline(ci(1,2),':')
yline(ci(2,2),':')
xlabel('Mean')
ylabel('Standard Deviation')