Вычисление факторизации Cholesky числовых и символьных матриц

Вычислите факторизацию Холеского матрицы Гильберта 3 на 3. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, получаются результаты с плавающей запятой.

chol(hilb(3))

ans =
    1.0000    0.5000    0.3333
         0    0.2887    0.2887
         0         0    0.0745

Теперь преобразуйте эту матрицу в символический объект и вычислите факторизацию Холеского:

chol(sym(hilb(3)))

ans =
[ 1,       1/2,        1/3]
[ 0, 3^(1/2)/6,  3^(1/2)/6]
[ 0,         0, 5^(1/2)/30]

Вернуться к нижней треугольной матрице

Вычислите факторизацию Холеского матрицы Паскаля 3 на 3, возвращающей нижнюю треугольную матрицу в результате:

chol(sym(pascal(3)), 'lower')

ans =
[ 1, 0, 0]
[ 1, 1, 0]
[ 1, 2, 1]

Если вход не является эрмитово положительным определенным

Попробуйте вычислить факторизацию Чолеского этой матрицы. Потому что эта матрица не эрмитова положительная определенная, chol используется без выходных аргументов или с одним выходным аргументом вызывает ошибку:

A = sym([1 1 1; 1 2 3; 1 3 5]);

T = chol(A)

Error using sym/chol (line 132)
Cannot prove that input matrix is Hermitian positive definite.
Define a Hermitian positive definite matrix by setting
appropriate assumptions on matrix components, or use 'nocheck'
to skip checking whether the matrix is Hermitian positive definite.

Для подавления ошибки используйте два выходных аргумента: T и p. Если матрица не распознается как эрмитова положительная определенная, то этот синтаксис присваивает пустой символический объект T и значение 1 кому p:

[T,p] = chol(A)

T =
[ empty sym ]
p =
     1

Для эрмитовской положительной определенной матрицы p равно 0:

[T,p] = chol(sym(pascal(3)))

T =
[ 1, 1, 1]
[ 0, 1, 2]
[ 0, 0, 1]
p =
     0

В качестве альтернативы, 'nocheck' позволяет пропустить проверку A - эрмитовская положительная определенная матрица. Таким образом, этот флаг позволяет вычислить факторизацию Холеского символической матрицы без установки дополнительных предположений на её компоненты, чтобы сделать её эрмитовской положительной определённой:

syms a
A = [a 0; 0 a];
chol(A,'nocheck')

ans =
[ a^(1/2),       0]
[       0, a^(1/2)]

Если вы используете 'nocheck' для вычисления факторизации Холеского матрицы, которая не является эрмитово положительной определенной, chol может возвращать матрицу T для которой идентификатор T'*T = A не удерживается. Сделать isAlways возврат логический 0 (false) для невыполнимых условий, установить Unknown кому false.

T = chol(sym([1 1; 2 1]), 'nocheck')

T =
[ 1,         2]
[ 0, 3^(1/2)*1i]

isAlways(A == T'*T,'Unknown','false')

ans =
  2×2 logical array
     0     0
     0     0

Возвращаемая матрица перестановки

Вычислите факторизацию Холеского обратной матрицы Гильберта 3 на 3, возвращающей матрицу перестановки:

A = sym(invhilb(3));
[T, p, S] = chol(A)

T =
[ 3,       -12,         10]
[ 0, 4*3^(1/2), -5*3^(1/2)]
[ 0,         0,    5^(1/2)]

p =
     0

S =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

Вернуть информацию о перестановке в виде вектора

Вычислите факторизацию Холеского обратной матрицы Гильберта 3 на 3, возвращающей информацию перестановки как вектор:

A = sym(invhilb(3));
[T, p, S] = chol(A, 'vector')

T =
[ 3,       -12,         10]
[ 0, 4*3^(1/2), -5*3^(1/2)]
[ 0,         0,    5^(1/2)]
p =
     0
S =
     1     2     3

Используйте допущения, чтобы сделать матрицу положительной

Вычислить факторизацию матрицы по Чолескому A содержащий символические параметры. Без дополнительных допущений по параметру a, эта матрица не эрмитова. Сделать isAlways возврат логический 0 (false) для невыполнимых условий, установить Unknown кому false.

syms a
A = [a 0; 0 a];
isAlways(A == A','Unknown','false')

ans =
  2×2 logical array
     0     1
     1     0

Путем установки допущений на a и b, можно определить A быть эрмитовским позитивом определённо. Поэтому можно вычислить факторизацию Холеского A:

assume(a > 0)
chol(A)

ans =
[ a^(1/2),       0]
[       0, a^(1/2)]

Для дальнейших расчетов удалите допущения по a путем его повторного создания с использованием syms:

syms a

Вернуть реальный результат без комплексных сопряжений

Вычислите факторизацию Чолеского этой матрицы. Чтобы пропустить проверку того, является ли она эрмитовской положительной определенной, используйте 'nocheck'. По умолчанию chol вычисляет эрмитовскую факторизацию A = T'*T. Таким образом, результат содержит комплексные конъюгаты.

syms a b
A = [a b; b a];
T = chol(A, 'nocheck')

T =
[ a^(1/2),                    conj(b)/conj(a^(1/2))]
[       0, (a*abs(a) - abs(b)^2)^(1/2)/abs(a)^(1/2)]

Чтобы избежать комплексных сопряжений в результате, используйте 'real':

T = chol(A, 'nocheck', 'real')

T =
[ a^(1/2),             b/a^(1/2)]
[       0, ((a^2 - b^2)/a)^(1/2)]

При использовании этого флага chol вычисляет симметричную факторизацию A = T.'*T вместо эрмитовской факторизации A = T'*T. Сделать isAlways возврат логический 0 (false) для невыполнимых условий, установить Unknown кому false.

isAlways(A == T.'*T)

ans =
  2×2 logical array
     1     1
     1     1

isAlways(A == T'*T,'Unknown','false')

ans =
  2×2 logical array
     0     0
     0     0