Учебное пособие по функциональным производным

В этом примере показано, как использовать функциональные производные в символьной математической Toolbox™ на примере волнового уравнения. В этом примере выполняются символичные вычисления для получения аналитических результатов. Волновое уравнение для фиксированной на его концах строки решают с помощью функциональных производных. Функциональная производная является производной функциональной относительно функции, от которой зависит функциональная группа. Символьный математический Toolbox™ реализует функциональные производные, используя functionalDerivative функция.

Решение волнового уравнения является одним из применений функциональных производных. Он описывает движение волн, от движения струны до распространения электромагнитной волны, и является важным уравнением в физике. Вы можете применить методы, проиллюстрированные в этом примере, к приложениям в исчислении вариаций от решения задачи Brachistochrone до нахождения минимальных поверхностей мыльных пузырей.

Рассмотрим строку длины L приостановлено между двумя точками x = 0 и x = L. Струна имеет характерную плотность на единицу длины и характерное натяжение. Определите длину, плотность и натяжение в качестве констант для последующего использования. Для простоты задайте для этих констант значение 1.

Length = 1;
Density = 1;
Tension = 1;

Если струна находится в движении, кинетическая и потенциальная энергии струны являются функцией ее смещения от покоя S(x,t), которое изменяется в зависимости от положения x и время t. Если d - плотность на единицу длины, кинетическая энергия равна

Потенциальная энергия

где r - напряжение.

Введите эти уравнения в MATLAB ®. Поскольку длина должна быть положительной, задайте это предположение. Это предположение позволяетsimplify для упрощения результирующих уравнений в ожидаемую форму.

syms S(x,t) d r v L
assume(L>0)
T(x,t) = int(d/2*diff(S,t)^2,x,0,L);
V(x,t) = int(r/2*diff(S,x)^2,x,0,L);

Действие A является T-V. Принцип наименьшего действия гласит, что действие всегда сводится к минимуму. Определите условие минимального действия, найдя функциональную производную A в отношении S использование functionalDerivative и приравнять его к нулю.

A = T-V;
eqn = functionalDerivative(A,S) == 0

eqn(x, t) = 
$$L\hspace{0.17em}r\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }S\left(x,t\right)-L\hspace{0.17em}d\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }S\left(x,t\right)=0$$

Упрощение уравнения с помощью simplify. Преобразование уравнения в ожидаемую форму путем замены r/d с квадратом скорости волны v.

eqn = simplify(eqn)/r;
eqn = subs(eqn,r/d,v^2)

eqn(x, t) = 
$$\frac{\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }S\left(x,t\right)}{v^2}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }S\left(x,t\right)$$

Решите уравнение методом разделения переменных. Набор S(x,t) = U(x)*V(t) разделить зависимость от положения x и время t. Разделите обе стороны результирующего уравнения, используя children.

syms U(x) V(t)
eqn2 = subs(eqn,S(x,t),U(x)*V(t));
eqn2 = eqn2/(U(x)*V(t))

eqn2(x, t) = 
$$\frac{\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }V\left(t\right)}{v^2\hspace{0.17em}V\left(t\right)}=\frac{\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }U\left(x\right)}{U\left(x\right)}$$

tmp = children(eqn2);

Обе стороны уравнения зависят от разных переменных, но равны. Это возможно только в том случае, если каждая сторона является константой. Приравнять каждую сторону к произвольной константе C чтобы получить два дифференциальных уравнения.

syms C
eqn3 = tmp(1) == C

eqn3 = 
$$\frac{\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }V\left(t\right)}{v^2\hspace{0.17em}V\left(t\right)}=C$$

eqn4 = tmp(2) == C

eqn4 = 
$$\frac{\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }U\left(x\right)}{U\left(x\right)}=C$$

Решение дифференциальных уравнений с помощью dsolve с условием, что смещение 0 в x = 0 и t = 0. Упрощение уравнений до ожидаемой формы с помощью simplify с Steps параметр имеет значение 50.

V(t) = dsolve(eqn3,V(0)==0,t);
U(x) = dsolve(eqn4,U(0)==0,x);
V(t) = simplify(V(t),'Steps',50)

V(t) = $$-2\hspace{0.17em}{C}_1\hspace{0.17em}\sinh \left(\sqrt{C}\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}v\right)$$

U(x) = simplify(U(x),'Steps',50)

U(x) = $$2\hspace{0.17em}{C}_1\hspace{0.17em}\sinh \left(\sqrt{C}\hspace{0.17em}x\right)$$

Получите константы в уравнениях.

p1 = setdiff(symvar(U(x)),sym([C,x]))

p1 = $$C_1$$

p2 = setdiff(symvar(V(t)),sym([C,v,t]))

p2 = $$C_1$$

Строка фиксируется в позициях x = 0 и x = L. Условие U(0) = 0 уже существует. Применение граничного условия, U(L) = 0 и решить для C.

eqn_bc = U(L) == 0;
[solC,param,cond] = solve(eqn_bc,C,'ReturnConditions',true)

solC = 
$$-\frac{k^2\hspace{0.17em}{\pi }^2}{L^2}$$

param = $$k$$

cond = 

assume(cond)

Решение S(x,t) является продуктом U(x) и V(t). Найдите решение и замените значения признаков строки в решении, чтобы получить окончательную форму решения.

S(x,t) = U(x)*V(t);
S = subs(S,C,solC);
S = subs(S,[L v],[Length sqrt(Tension/Density)]);

Параметры p1 и p2 определяют амплитуду колебаний. Набор p1 и p2 кому 1 для простоты.

S = subs(S,[p1 p2],[1 1]);
S = simplify(S,'Steps',50)

S(x, t) = $$4\hspace{0.17em}\sin \left(\pi \hspace{0.17em}k\hspace{0.17em}t\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\pi \hspace{0.17em}k\hspace{0.17em}x\right)$$

Струна имеет различные режимы вибрации для различных значений k. Постройте график первых четырех режимов для произвольного значения времени t. Используйте param аргумент, возвращенный solve для параметра адреса k.

Splot(x) = S(x,0.3);
figure(1)
hold on
grid on
ymin = double(coeffs(Splot));
for i = 1:4
    yplot = subs(Splot,param,i);
    fplot(yplot,[0 Length])
end
ylim([-ymin ymin])
legend('k = 1','k = 2','k = 3','k = 4','Location','best')
xlabel('Position (x)')
ylabel('Displacement (S)')
title('Modes of a string')

Волновое уравнение является линейным. Это означает, что любая линейная комбинация разрешенных режимов является действительным решением волнового уравнения. Следовательно, полное решение волнового уравнения с заданными граничными условиями и начальными значениями является суммой по разрешенным модам

где $${}_{\mathrm{Ak}}$$ обозначает произвольные константы.

Использовать symsum для суммирования первых пяти режимов строки. На новом рисунке отобразите результирующую форму сигнала в тот же момент времени, что и предыдущие формы сигнала для сравнения.

figure(2)
S5(x) = 1/5*symsum(S,param,1,5);
fplot(subs(S5,t,0.3),[0 Length])
ylim([-ymin ymin])
grid on
xlabel('Position (x)')
ylabel('Displacement (S)')
title('Summation of first 5 modes')

На рисунке показано, что режимы суммирования позволяют моделировать качественно иную форму волны. Здесь мы указали начальное условие $$S(x,\mathrm{t}=\mathrm{}$$0) = 0 $$\mathrm{для}$$всех x.

Можно вычислить значения $${}_{\mathrm{Ak}}$$ в уравнении $$F(x,t\underset{}{\overset{}{)}}{}_{}\mathrm{}\mathrm{=\sum k=nmAksin}(\mathrm{¼\; kt})sin$$ (¼ kx), задав условие для начальной скорости

Соответствующее суммирование мод может представлять любую форму сигнала, которая аналогична использованию ряда Фурье для представления движения строки.