Найдите функциональную производную функционального $${}_{}^{}\mathrm{S[y]=\int bay}(x\mathrm{)}\sin (y(x$$)) dx относительно $$$$функции y, где $$\mathrm{интеграл}f[y(x\mathrm{)]}=y(x$$) sin (y (x)).

Объявить y(x) как символическая функция и определить f как интеграл $$$$S. Использование f и y в качестве параметров functionalDerivative.

syms y(x)
f = y*sin(y);
G = functionalDerivative(f,y)

G(x) = $$\sin \left(y\left(x\right)\right)+\cos \left(y\left(x\right)\right)\hspace{0.17em}y\left(x\right)$$

Найдите функциональную производную функционального $${\displaystyle {}_{}^{\mathrm{S[u,v]=\int ba}}{(}^{\mathrm{}}u2(\frac{x)dv}{(}x)dx\frac{{}^{\mathrm{+}}v(}{x{)}^{\mathrm{}}}\mathrm{d2u}}$$ (x) dx2) dx относительно $$$$$$$$функций u и v, где $$\mathrm{интеграл}f{}^{[}u(x{)}^{,}v(x{)}^{\mathrm{,}}\frac{u}{\prime }\prime \frac{{}^{\mathrm{(}}x}{){,}^{\mathrm{}}}$$v ′ (x)] = u2dvdx + vd2udx2.

Объявить u(x) и v(x) в качестве символьных функций и определить f как интеграл $$S$$.

syms u(x) v(x)
f = u^2*diff(v,x) + v*diff(u,x,x);

Задание вектора символьных функций [u v] как второй входной аргумент в functionalDerivative.

G = functionalDerivative(f,[u v])

G(x) = 
$$\left(\begin{array}{c}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }v\left(x\right)+2\hspace{0.17em}u\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }v\left(x\right)\\ \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x\right)-2\hspace{0.17em}u\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x\right)\end{array}\right)$$

functionalDerivative возвращает вектор символьных функций, содержащий функциональные производные интеграла f в отношении u и vсоответственно.

Найти уравнение Эйлера-Лагранжа массы m который соединен с пружиной с постоянной пружиной k.

Определение кинетической энергии T, потенциальная энергия V, и Лагранжиан L системы. Лагранжиан - это разница между кинетической и потенциальной энергией.

syms m k x(t)
T = 1/2*m*diff(x,t)^2;
V = 1/2*k*x^2;
L = T - V

L(t) = 
$$\frac{m\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)\right)}^2}{2}-\frac{k\hspace{0.17em}{x\left(t\right)}^2}{2}$$

В лагранжевой механике функциональное действие системы равно интегралу лагранжиана с течением времени, или $${}_{{}_{\mathrm{}}}^{{}_{\mathrm{}}}\mathrm{S[x]=\int t1t2L[t,x}(t)\underset{}{\overset{}{,}}\mathrm{x\dot{}}(t)$$] dt. Уравнение Эйлера - Лагранжа описывает движение системы, для $$\mathrm{которой}S[$$x (t)] является неподвижным.

Найдите уравнение Эйлера - Лагранжа, взяв функциональную производную интеграла L и установка его равным 0.

eqn = functionalDerivative(L,x) == 0

eqn(t) = 
$$-m\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }x\left(t\right)-k\hspace{0.17em}x\left(t\right)=0$$

eqn - дифференциальное уравнение, описывающее колебание масса-пружина.

Решить eqn использование dsolve. Предположим, что масса m и постоянной пружины k являются положительными. Установите начальные условия для амплитуды колебаний как $$x\mathrm{(}0)\mathrm{}\mathrm{=}$$ 10 и начальную скорость массы $$\underset{}{\overset{как}{}}\mathrm{}x\dot{}\mathrm{(}$$0) = 0.

assume(m,'positive')
assume(k,'positive')
Dx(t) = diff(x(t),t);
xSol = dsolve(eqn,[x(0) == 10, Dx(0) == 0])

xSol = 
$$10\hspace{0.17em}\cos \left(\frac{\sqrt{k}\hspace{0.17em}t}{\sqrt{m}}\right)$$

Четкие допущения для дальнейших расчетов.

assume([k m],'clear')

Задача Brachistochrone - найти самый быстрый путь спуска частицы под гравитацией без трения. Движение ограничивается вертикальной плоскостью. Время перемещения тела вдоль кривой $$y(x$$) из точки $$$$a в $$$$b под действием силы тяжести $$$$g определяется как

Найдите самый быстрый путь, минимизируя изменение t $$$$относительно небольших изменений в пути $$y$$. Условие для минимума равно $$\frac{}{\mathrm{\delta t\delta y}}(x)\mathrm{}$$= 0.

Вычислите функциональную производную, чтобы получить дифференциальное уравнение, описывающее задачу Брахистохрона. Использовать simplify упростить уравнение до его ожидаемой формы.

syms g y(x)
assume(g,'positive')
f = sqrt((1 + diff(y)^2)/(2*g*y));
eqn = functionalDerivative(f,y) == 0;
eqn = simplify(eqn)

eqn(x) = 
$$2\hspace{0.17em}y\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }y\left(x\right)+{\left(\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }y\left(x\right)\right)}^2=-1$$

Это уравнение является стандартным дифференциальным уравнением задачи Брахистохрона. Чтобы найти решения дифференциального уравнения, используйте dsolve. Укажите 'Implicit' опция для true для возврата неявных решений, которые имеют форму $$F(y(x))=$$g (x).

sols = dsolve(eqn,'Implicit',true)

sols = 
$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}y\left(x\right)=C_2-x\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ y\left(x\right)=C_3+x\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ {\sigma }_1=C_4+x\\ {\sigma }_1=C_5-x\\ \frac{C_1+y\left(x\right)}{y\left(x\right)}=0\end{array}\right)\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=C_1\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}\right)-y\left(x\right)\hspace{0.17em}\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}\end{array}$$

Символьный решатель dsolve возвращает общие решения в сложном пространстве. Символьная математическая Toolbox™ не принимает предположение, что символическая функция $$y(x$$) является действительной.

В зависимости от граничных условий существует два решения задачи Брахистохрона в реальном пространстве. Одно из двух решений ниже описывает циклоидную кривую в реальном пространстве.

solCycloid1 = sols(3)

solCycloid1 = 
$$C_1\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}\right)-y\left(x\right)\hspace{0.17em}\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}=C_4+x$$

solCycloid2 = sols(4)

solCycloid2 = 
$$C_1\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}\right)-y\left(x\right)\hspace{0.17em}\sqrt{-\frac{C_1}{y\left(x\right)}-1}=C_5-x$$

Другим решением в реальном пространстве является горизонтальная прямая, где $$y$$ - постоянная.

solStraight = simplify(sols(5))

solStraight = $$C_1+y\left(x\right)=0$$

Для иллюстрации циклоидного решения рассмотрим пример с граничными условиями $$y\mathrm{(}0)\mathrm{}$$= 5 $$и\mathrm{}y\mathrm{(}$$4) = 1. В этом случае уравнение, которое может удовлетворить заданным граничным условиям,solCycloid2. Замените два граничных условия на solCycloid2.

eq1 = subs(solCycloid2,[x y(x)],[0 5]);
eq2 = subs(solCycloid2,[x y(x)],[4 1]);

Два уравнения, eq1 и eq2, имеют два неизвестных коэффициента, $${}_{\mathrm{C1}}$$ и $${}_{\mathrm{C5}}$$. Использовать vpasolve найти численные решения для коэффициентов. Заменить эти решения на solCycloid2.

coeffs = vpasolve([eq1 eq2]);
eqCycloid = subs(solCycloid2,{'C1','C5'},{coeffs.C1,coeffs.C5})

eqCycloid = 
$$-6.4199192418473511250705556729108\hspace{0.17em}\mathrm{atan}\left(\sqrt{\frac{6.4199192418473511250705556729108}{y\left(x\right)}-1}\right)-y\left(x\right)\hspace{0.17em}\sqrt{\frac{6.4199192418473511250705556729108}{y\left(x\right)}-1}=-x-5.8078336827583088482183433150164$$

Неявное уравнение eqCycloid описывает циклоидное решение задачи Брахистохрона в терминах $$x$$ и $$y(x$$).

Затем можно использовать fimplicit составлять заговор eqCycloid. С тех пор fimplicit принимает только неявные символьные уравнения, содержащие символьные переменные $$x$$ и $$y$$, преобразует символьную функцию y $$(x)$$ в символьную переменную $$y$$. Использовать mapSymType для преобразования $$y(x$$) в $$$$x. Постройте график циклоидного решения в граничных условиях $$\mathrm{}0<\mathrm{}$$x < 4 $$\mathrm{}и\mathrm{}$$1 < y < 5.

funToVar = @(obj) sym('y');
eqPlot = mapSymType(eqCycloid,'symfun',funToVar);
fimplicit(eqPlot,[0 4 1 5])

Для функции $$u(x,$$y), которая описывает поверхность в 3-D пространстве, площадь поверхности может быть определена функциональным

где $${}_{\mathrm{ux}}$$ и $${}_{\mathrm{uy}}$$ - частные производные $$u$$ относительно $$x$$ и $$y$$.

Найти функциональную производную интеграла f в отношении u.

syms u(x,y)
f = sqrt(1 + diff(u,x)^2 + diff(u,y)^2);
G = functionalDerivative(f,u)

G(x, y) = 
$$\begin{array}{l}-\frac{{\left(\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }u\left(x,y\right)\right)}^2\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)+{{\sigma }_1}^2\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)-2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }{\sigma }_1\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }u\left(x,y\right)\hspace{0.17em}{\sigma }_1+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)}{{\left({{\sigma }_1}^2+{\left(\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }u\left(x,y\right)\right)}^2+1\right)}^{3/2}}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1=\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x,y\right)\end{array}$$

Результатом является уравнение G которая описывает минимальную поверхность поверхности 3-D, определяемую u(x,y). Решения этого уравнения описывают минимальные поверхности в 3-D пространстве, такие как мыльные пузыри.