G-функция Мейера
meijerG (a, b, c, d, z)syms x meijerG(3, [], [], 2, 5)
ans =
25Звонить meijerG когда z является массивом. meijerG действует элементарно.
a = 2; z = [1 2 3]; meijerG(a, [], [], [], z)
ans =
0.3679 1.2131 2.1496Преобразование числового ввода в символьную форму с помощью symи найти G-функцию Мейера. Для определенных символьных входных данных, meijerG возвращает точные символьные выходные данные с использованием других функций.
meijerG(sym(2), [], [], [], sym(3))
ans = 3*exp(-1/3)
meijerG(sym(2/5), [], sym(1/2), [], sym(3))
ans = (2^(4/5)*3^(1/2)*gamma(1/10))/80
Для символьных переменных или выражений: meijerG возвращает выходные данные в виде простых или специальных функций.
syms a b c d z f = meijerG(a,b,c,d,z)
f = (gamma(c - a + 1)*(1/z)^(1 - a)*hypergeom([c - a + 1, d - a + 1],... b - a + 1, 1/z))/(gamma(b - a + 1)*gamma(a - d))
Замена значений переменных с помощью subsи преобразуйте значения в двойные с помощью double.
fVal = subs(f, [a b c d z], [1.2 3 5 7 9])
fVal = (266*9^(1/5)*hypergeom([24/5, 34/5], 14/5, 1/9))/(25*gamma(-29/5))
double(fVal)
ans = 5.7586e+03
Вычислить fVal для повышения точности с помощью vpa.
vpa(fVal)
ans = 5758.5946416377834597597497022199
Показать отношения между meijerG и упрощение функций для заданных значений параметров.
Показать это, когда a, b, и d пусты, и c = 0, то meijerG уменьшает до exp(-z).
syms z meijerG([], [], 0, [], z)
ans = exp(-z)
Показать это, когда a, b, и d пусты, и c = [1/2 -1/2], то meijerG уменьшается до 2Kv (1,2z1/2).
meijerG([], [], [1/2 -1/2], [], z)
ans = 2*besselk(1, 2*z^(1/2))
Постройте график действительных и мнимых значений G-функции Мейера для значений b и z, где a = [-2 2] и c и d пусты. Заливка контуров с помощью настройки Fill кому on.
syms b z
f = meijerG([-2 2], b, [], [], z);
subplot(2,2,1)
fcontour(real(f),'Fill','on')
title('Real Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')
subplot(2,2,2)
fcontour(imag(f),'Fill','on')
title('Imag. Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')
Для G-функции Мейера meijerG([a1,…,an], [an + 1,…,ap], [b1,…,bm], [bm + 1,…,bq], z), для ai ∊ (a1,..., an) и bj ∊ (b1,..., bm) ни одна пара параметров ai − bj не должна отличаться на положительное целое число.
G-функция Мейера включает сложный контурный интеграл с одним из следующих типов путей интегрирования:
Контур идёт от - i ∞ до i ∞ так что все полюса s), j = 1,..., m лежат справа от пути, а все полюса − ak + s), k = 1,..., n лежат слева от пути. Интеграл = m + n − p + q2 > 0, | arg (z) | < c δ. Если | arg (z) | = c δ, c ≥ 0, интеграл сходится абсолютно тогда, когда p где (∑j=1qbj) − (∑i=1pai). При p ≠ q интеграл сходится, если выбрать контур так, чтобы контурные точки около i ∞ и - i ∞ λ, удовлетворяющую (q − p) σ>ℜ (start) + 1 − q − p2.
Контур представляет собой петлю, начинающуюся и заканчивающуюся на ∞ и опоясывающую все полюса s), j = 1,..., m, движущиеся в отрицательном направлении, но ни один из полюсов − ak + s), k = 1,..., n. Интеграл сходится, если q ≥ 1 и p < q или p = q и | z | < 1.
Контур представляет собой петлю, начинающуюся и заканчивающуюся на - ∞ и опоясывающую все полюса + s), k = 1,..., n, движущуюся в положительном направлении, но ни один из (bj + s), j = 1,..., m. Интеграл сходится, если p ≥ 1 и либо p > q, либо p = q и | z | > 1.
Интеграл представляет обратное преобразование Лапласа или, более конкретно, тип интеграла Меллина-Барнса.
Для данного набора параметров контур, выбранный в определении G-функции Мейера, является тем, для которого сходится интеграл. Если интеграл сходится для нескольких контуров, все контуры приводят к одной и той же функции.
G-функция Мейера удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка max (p, q) относительно переменной z:
a1,..., apb1,..., bp 'z) = 0.
Если p < q, это дифференциальное уравнение имеет регулярную сингулярность при z = 0 и нерегулярную сингулярность при z = ∞. Если p = q, точки z = 0 и z = ∞ являются правильными сингулярностями, и существует дополнительная регулярная сингулярность при z = (− 1) m + n - p.
G-функция Мейера представляет собой аналитическое продолжение гипергеометрической функции [1]. Для конкретных вариантов параметров можно выразить G-функцию Мейера через гипергеометрическую функцию. Например, если никакие два из членов bh, h = 1,..., m, не отличаются на целое число или ноль и все полюса просты, то
− bh)) zbhpFq − 1 (Ah; (− 1) p − m − nz
Здесь p < q или p = q и | z | < 1. Ах обозначает
1 + bh − ap.
Bh обозначает
bh − bh + 1,..., 1 + bh − bq.
G-функции Meijer с различными параметрами могут представлять одну и ту же функцию.
G-функция Мейера симметрична относительно параметров. Изменение порядка внутри каждого из следующих списков векторов не изменяет результирующую G-функцию Мейера: [a1,..., an], [an + 1,..., ap], [b1,..., bm], [bm + 1,..., bq].
Если z не является отрицательным вещественным числом и z ≠ 0, функция удовлетворяет следующему тождеству:
− bp1 − a1,..., 1 − ap | 1z).
.
Если 0 < n < p и r = a1 - ap является целым числом, функция удовлетворяет следующему идентификатору:
ap − 1, a1b1, b2,..., bq − 1, bq' z).
.
Если 0 < m < q и r = b1 - bq является целым числом, функция удовлетворяет следующему тождеству:
, ap − 1, apbq, b2,..., bq − 1, b1 | z).
.
Согласно этим правилам, meijerG вызов функции может вернуться meijerG с измененными входными параметрами.
[1] Люк, Ю.Л., Специальные функции и их приближения. Том 1. Нью-Йорк: академическая пресса, 1969 год.
[2] Прудников, А. П., Ю. А. Брычков, и О. И. Маричев, «Интегралы и серии». Vol 3: Больше специальных функций. Гордон и брешь, 1990.
[3] Абрамовиц, М., И. А. Стегун, Справочник математических функций. 9-я печать. Нью-Йорк: Dover Publications, 1970.