Гипергеометрическая функция
hypergeom( представляет обобщенную гипергеометрическую функцию.a,b,z)
В зависимости от того, является ли ввод плавающей запятой или символическим, hypergeom возвращает результаты с плавающей запятой или символьные результаты.
Вычислите гипергеометрическую функцию для этих чисел. Потому что эти числа являются плавающей запятой, hypergeom возвращает результаты с плавающей запятой.
A = [hypergeom([1 2], 2.5, 2),...
hypergeom(1/3, [2 3], pi),...
hypergeom([1 1/2], 1/3, 3*i)]A = -1.2174 - 0.8330i 1.2091 + 0.0000i -0.2028 + 0.2405i
Возврат точных символьных результатов путем преобразования хотя бы одного из входных данных в символьную форму с помощью sym. Для большинства символьных (точных) входных данных: hypergeom возвращает неразрешенные символьные вызовы.
symA = [hypergeom([1 2], 2.5, sym(2)),...
hypergeom(1/3, [2 3], sym(pi)),...
hypergeom([1 1/2], sym(1/3), 3*i)]symA = [ hypergeom([1, 2], 5/2, 2), hypergeom(1/3, [2, 3], pi), hypergeom([1/2, 1], 1/3, 3i)]
Преобразование символьного результата в высокоточную плавающую точку с помощью vpa.
vpa(symA)
ans = [ - 1.2174189301051728850455150601879 - 0.83304055090469367131547768563638i,... 1.2090631887094273193917339575087,... - 0.20275169745081962937527290365593 + 0.24050134226872040357481317881983i]
Показать, что hypergeom возвращает специальные значения для определенных входных значений.
syms a b c d x hypergeom([], [], x)
ans = exp(x)
hypergeom([a b c d], [a b c d], x)
ans = exp(x)
hypergeom(a, [], x)
ans = 1/(1 - x)^a
Показать, что гипергеометрическая функция всегда 1 в 0.
syms a b c d hypergeom([a b], [c d], 0)
ans = 1
Если после отмены идентичных параметров в первых двух аргументах список верхних параметров содержит 0, результирующая гипергеометрическая функция является постоянной со значением 1. Дополнительные сведения см. в разделе Алгоритмы.
hypergeom([0 0 2 3], [a 0 4], x)
ans = 1
Если после отмены идентичных параметров в первых двух аргументах верхние параметры содержат отрицательное целое число, большее, чем наибольшее отрицательное целое число в нижних параметрах, гипергеометрическая функция является многочленом.
hypergeom([-4 -2 3], [-3 1 4], x)
ans = (3*x^2)/5 - 2*x + 1
Гипергеометрические функции сводятся к другим специальным функциям для определенных входных значений.
hypergeom([1], [a], x) hypergeom([a], [a, b], x)
ans = (exp(x/2)*whittakerM(1 - a/2, a/2 - 1/2, -x))/(-x)^(a/2) ans = x^(1/2 - b/2)*gamma(b)*besseli(b - 1, 2*x^(1/2))
Многие символические функции, такие как diff и taylor, дескриптор выражения, содержащие hypergeom.
Дифференцируйте это выражение, содержащее гипергеометрическую функцию.
syms a b c d x diff(1/x*hypergeom([a b],[c d],x), x)
ans = (a*b*hypergeom([a + 1, b + 1], [c + 1, d + 1], x))/(c*d*x)... - hypergeom([a, b], [c, d], x)/x^2
Вычислите ряд Тейлора для этой гипергеометрической функции.
taylor(hypergeom([1 2],3,x), x)
ans = (2*x^5)/7 + x^4/3 + (2*x^3)/5 + x^2/2 + (2*x)/3 + 1
Гипергеометрическая функция
(ap) n (b1) n... (bk) n... (bq) n) (znn!).
Гипергеометрическая функция имеет критерии сходимости:
Сходится, если p ≤ q и | z | < ∞.
Сходится, если p = q + 1 и | z | < 1. Для | z | > = 1 ряд расходится и определяется аналитическим продолжением.
Расходится, если p > q + 1 и z ≠ 0. Здесь ряд определяется асимптотическим расширением pFq (a; b; z) вокруг z = 0. Срез ветви является положительной действительной осью.
Функция - многочлен, называемый гипергеометрическим многочленом, если любой aj является непозволительным целым числом.
Функция не определена:
Если какой-либо bk является непозволительным целым таким, что bk > aj, где aj также является непозволительным целым, потому что деление на 0 происходит
Если какой-либо bk не является положительным целым числом, и нет aj не является положительным целым числом
Функция имеет уменьшенный порядок, когда значения верхнего и нижнего параметров равны и отменяются. Если значения r верхнего и нижнего параметров равны (то есть a = [a1,..., ap - r, c1,..., cr], b = [b1,..., bq - r, c1,..., cr]), то порядок (p, q) pFq (a; b; z) уменьшается до (p - r, q - r):
− r (a1,..., ap − r; b1,..., bq − r; z)
Это правило применяется, даже если любой ci равен нулю или отрицательному целому числу [2].
pFq (a; b; z) симметричен. То есть не зависит от порядка а1, а2,... в a или b1, b2,... в б.
b; z) удовлетворяет дифференциальному уравнению в z
= 0, δ=z∂∂z.
Здесь (δ + a) представляет
ai).
И (δ + b) представляет
bj).
Таким образом, порядок этого дифференциального уравнения равен max (p, q + 1), и гипергеометрическая функция является только одним из его решений. Если p < q + 1, это дифференциальное уравнение имеет регулярную сингулярность при z = 0 и нерегулярную сингулярность при z = ∞. Если p = q + 1, точки z = 0, z = 1 и z = ∞ являются регулярными сингулярностями, что объясняет свойства сходимости гипергеометрического ряда.
Гипергеометрическая функция имеет следующие специальные значения:
pFp (a; a; z ) = 0F0 (;; z) = ez.
pFq (a; b; z ) = 1, если список верхних параметров a содержит больше0s, чем список нижних параметров b.
pFq (a; b; 0 ) = 1.
[1] Оберхеттингер, Ф. «Гипергеометрические функции». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. (М. Абрамовиц и И. А. Стегун, ред.). Нью-Йорк: Дувр, 1972.
[2] Люк, Ю. Л. «Особые функции и их приближения», том 1, Академическая пресса, Нью-Йорк, 1969.
[3] Прудников, А.П., Ю.А. Брычков, и О.И. Маричев, «Интегралы и серии», т. 3: Больше специальных функций, Гордон и брешь, 1990.
kummerU | meijerG | whittakerM | whittakerW