Паде Аппроксимант

Аппроксиматор Паде порядка [m, n] аппроксимирует функцию f (x) вокруг x = _x0 как

$\frac{_{a0} +_{} a1 (_{x} - x0)_{+} {. . ._{+}}^{}}{am (_{x} -_{x0}) m1 +_{} {b1 (x_{} -}^{}}$ x0) +... + bn (x − x0) n.

Аппроксимант Паде - рациональная функция, образованная отношением двух степенных рядов. Поскольку это рациональная функция, она более точна, чем ряд Тейлора в аппроксимации функций полюсами. Аппроксимант Паде представлен функцией символьной математической Toolbox™ pade.

Когда полюс или ноль существует в точке расширения x = x0, точность аппроксиманта Паде уменьшается. Для повышения точности можно использовать альтернативную форму аппроксиманта Паде, которая

$\frac{{(x -_{}}^{x0})_{p} (_{} a0 +_{} a1 (x -_{} {x0) +_{.} .}^{.}}{+_{am} (x_{−} x0) m)_{} {1 +_{} b1}^{}} ($ x − x0) +... + bn (x − x0) n.

pade функция возвращает альтернативную форму аппроксиманта Padé при установке OrderMode входной аргумент для Relative.

Аппроксиматор Паде используется в теории системы управления для моделирования временных задержек в реакции системы. Временные задержки возникают в таких системах, как химические и транспортные процессы, где имеется задержка между вводом и реакцией системы. Когда эти входы моделируются, они называются входами мертвого времени. В этом примере показано, как с помощью инструментария символьной математики моделировать отклик системы первого порядка на входные данные мертвого времени с помощью аппроксимантов Паде.

Поведение системы первого порядка описывается этим дифференциальным уравнением

$\frac{startdy (t}{)} dt + y (t) =$ ax (t).

Введите дифференциальное уравнение в MATLAB ®.

syms tau a x(t) y(t) xS(s) yS(s) H(s) tmp
F = tau*diff(y)+y == a*x;

Найти преобразование Лапласа F использование laplace.

F = laplace(F,t,s)

F =  $laplace (y (t), t, s) - τ (y (0) - s laplace (y (t), t, s)) = a laplace (x (t), t, s)$

Предположим, что ответ системы на t = 0 является 0. Использовать subs заменить y(0) = 0.

F = subs(F,y(0),0)

F =  $laplace (y (t), t, s) + s τ laplace (y (t), t, s) = a laplace (x (t), t, s)$

Для сбора общих терминов используйте simplify.

F = simplify(F)

F =  $(s τ + 1) laplace (y (t), t, s) = a laplace (x (t), t, s)$

Для удобочитаемости замените преобразования Лапласа x(t) и y(t) с xS(s) и yS(s).

F = subs(F,[laplace(x(t),t,s) laplace(y(t),t,s)],[xS(s) yS(s)])

F =  $yS (s) (s τ + 1) = a xS (s)$

Преобразование Лапласа передаточной функции yS(s)/xS(s). Разделить обе стороны уравнения на xS(s) и использовать subs заменять yS(s)/xS(s) с H(s).

F = F/xS(s);
F = subs(F,yS(s)/xS(s),H(s))

F =  $H (s) (s τ + 1) = a$

Решить уравнение для H(s). Заменить на H(s) с фиктивной переменной, решить для фиктивной переменной с помощью solveи назначить решение обратно H(s).

F = subs(F,H(s),tmp);
H(s) = solve(F,tmp)

H(s) = 
 $\frac{a}{s τ + 1}$

Вход в систему первого порядка является вводом шага с временной задержкой. Чтобы представить ввод шага, используйте heaviside. Задержка ввода на три единицы времени. Поиск преобразования Лапласа с помощью laplace.

step = heaviside(t - 3);
step = laplace(step)

step = 
 $\frac{e^{- 3 s}}{s}$

Найдите отклик системы, который является результатом функции переноса и ввода.

y = H(s)*step

y = 
 $\frac{a e^{- 3 s}}{s (s τ + 1)}$

Чтобы разрешить печать ответа, задайте параметры a и tau к их ценностям. Для a и tau, выберите значения 1 и 3соответственно.

y = subs(y,[a tau],[1 3]);
y = ilaplace(y,s);

Найти аппроксиматор Паде порядка [2 2] ввода шага с помощью Order входной аргумент для pade.

stepPade22 = pade(step,'Order',[2 2])

stepPade22 = 
 $\frac{3 s^{2} - 4 s + 2}{2 s (s + 1)}$

Найдите ответ на вход путем умножения передаточной функции и аппроксиманта Паде входа.

yPade22 = H(s)*stepPade22

yPade22 = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 4 s + 2)}{2 s (s τ + 1) (s + 1)}$

Найти обратное преобразование Лапласа yPade22 использование ilaplace.

yPade22 = ilaplace(yPade22,s)

yPade22 = 
 $a + \frac{9 a e^{- s}}{2 τ - 2} - \frac{a e^{- \frac{s}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3)}{τ (2 τ - 2)}$

Для построения графика ответа задайте параметры a и tau к их ценностям 1 и 3соответственно.

yPade22 = subs(yPade22,[a tau],[1 3])

yPade22 = 
 $\frac{9 e^{- s}}{4} - \frac{11 e^{- \frac{s}{3}}}{4} + 1$

Постройте график реакции системы y и ответ, рассчитанный из аппроксиманта Паде yPade22.

hold on
grid on
fplot([y yPade22],[0 20])
title('Pade Approximant for dead-time step input')
legend('Response to dead-time step input',...
       'Pade approximant [2 2]',...
       'Location', 'Best')

Figure contains an axes. The axes with title Pade Approximant for dead-time step input contains 2 objects of type functionline. These objects represent Response to dead-time step input, Pade approximant [2 2].

[2 2] Аппроксимант Паде не хорошо представляет ответ, потому что полюс существует в точке расширения 0. Для повышения точности pade при наличии полюса или нуля в точке расширения установите OrderMode входной аргумент для Relative и повторите шаги. Для получения более подробной информации см. pade.

stepPade22Rel = pade(step,'Order',[2 2],'OrderMode','Relative')

stepPade22Rel = 
 $\frac{3 s^{2} - 6 s + 4}{s (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = H(s)*stepPade22Rel

yPade22Rel = 
 $\frac{a (3 s^{2} - 6 s + 4)}{s (s τ + 1) (3 s^{2} + 6 s + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace(yPade22Rel)

yPade22Rel = 
 $\begin{array}{l} a - \frac{a e^{- \frac{t}{τ}} (4 τ^{2} + 6 τ + 3)}{σ_{1}} + \frac{12 a τ e^{- t} (\cos (\frac{\sqrt{3} t}{3}) - \sqrt{3} \sin (\frac{\sqrt{3} t}{3}) (\frac{36 a - 72 a τ}{36 a τ} + 1))}{σ_{1}} \\ where \\ σ_{1} = 4 τ^{2} - 6 τ + 3 \end{array}$

yPade22Rel = subs(yPade22Rel,[a tau],[1 3])

yPade22Rel = 
 $\frac{12 e^{- t} (\cos (\frac{\sqrt{3} t}{3}) + \frac{2 \sqrt{3} \sin (\frac{\sqrt{3} t}{3})}{3})}{7} - \frac{19 e^{- \frac{t}{3}}}{7} + 1$

fplot(yPade22Rel,[0 20],'DisplayName','Relative Pade approximant [2 2]')

Figure contains an axes. The axes with title Pade Approximant for dead-time step input contains 3 objects of type functionline. These objects represent Response to dead-time step input, Pade approximant [2 2], Relative Pade approximant [2 2].

Точность аппроксиманта Паде также можно повысить, увеличив его порядок. Увеличить заказ до [4 5] и повторите шаги. [n-1 n] Аппроксиматор Паде лучше аппроксимирует ответ при t = 0 чем [n n] Приближение Паде.

stepPade45 = pade(step,'Order',[4 5])

stepPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = H(s)*stepPade45

yPade45 = 
 $\frac{a (27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560)}{s (s τ + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = subs(yPade45,[a tau],[1 3])

yPade45 = 
 $\frac{27 s^{4} - 180 s^{3} + 540 s^{2} - 840 s + 560}{s (3 s + 1) (27 s^{4} + 180 s^{3} + 540 s^{2} + 840 s + 560)}$

yPade45 = ilaplace(yPade45)

yPade45 = 
 $\begin{array}{l} \frac{294120 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}} {σ_{2}}^{2}}{σ_{1}})}{1001} - \frac{2721 e^{- \frac{t}{3}}}{1001} + \frac{46440 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}} {σ_{2}}^{3}}{σ_{1}})}{1001} + \frac{172560 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{t σ_{2}}}{σ_{1}})}{143} + \frac{101520 (\sum_{k = 1}^{4} \frac{e^{σ_{2} t} σ_{2}}{12 (90 σ_{2} + 45 {σ_{2}}^{2} + 9 {σ_{2}}^{3} + 70)})}{143} + 1 \\ where \\ σ_{1} = 12 (9 {σ_{2}}^{3} + 45 {σ_{2}}^{2} + 90 σ_{2} + 70) \\ σ_{2} = root ({s_{5}}^{4} + \frac{20 {s_{5}}^{3}}{3} + 20 {s_{5}}^{2} + \frac{280 s_{5}}{9} + \frac{560}{27}, s_{5}, k) \end{array}$

yPade45 = vpa(yPade45)

yPade45 =  $3.2418384981662546679005910164486 e^{- 1.930807068546914778929595950184 t} \cos (0.57815608595633583454598214328008 t) - 2.7182817182817182817182817182817 e^{- 0.33333333333333333333333333333333 t} - 1.5235567798845363861823092981669 e^{- 1.4025262647864185544037373831494 t} \cos (1.7716120279045018112388813990878 t) + 11.595342871672681856604670597166 e^{- 1.930807068546914778929595950184 t} \sin (0.57815608595633583454598214328008 t) - 1.7803798379230333426855987436911 e^{- 1.4025262647864185544037373831494 t} \sin (1.7716120279045018112388813990878 t) + 1.0$

fplot(yPade45,[0 20],'DisplayName','Pade approximant [4 5]')

Figure contains an axes. The axes with title Pade Approximant for dead-time step input contains 4 objects of type functionline. These objects represent Response to dead-time step input, Pade approximant [2 2], Relative Pade approximant [2 2], Pade approximant [4 5].

Были показаны следующие моменты:

Аппроксиматоры Padé могут моделировать входы шагов с мертвым временем.
Точность аппроксиманта Паде увеличивается с увеличением порядка аппроксиманта.
Когда в точке расширения существует полюс или ноль, аппроксимант Паде неточен относительно точки расширения. Для повышения точности аппроксиманта установите OrderMode опция для Relative. Можно также использовать увеличение порядка знаменателя относительно числителя.

Документация

Паде Аппроксимант

Документация по инструментам символьной математики

Поддержка