Найти аппроксимант Паде для символьных выражений

Найти приближение Паде sin(x). По умолчанию pade возвращает аппроксимант Паде третьего порядка.

syms x
pade(sin(x))

ans =
-(x*(7*x^2 - 60))/(3*(x^2 + 20))

Задать переменную расширения

Если переменная расширения не указана, symvar выбирает его. Найти приближение Паде sin(x) + cos(y). symvar функция выбирает x в качестве переменной расширения.

syms x y
pade(sin(x) + cos(y))

ans =
(- 7*x^3 + 3*cos(y)*x^2 + 60*x + 60*cos(y))/(3*(x^2 + 20))

Укажите переменную расширения как y. pade функция возвращает аппроксимант Паде относительно y.

pade(sin(x) + cos(y),y)

ans =
(12*sin(x) + y^2*sin(x) - 5*y^2 + 12)/(y^2 + 12)

Приблизительное значение функции в конкретной точке

Найти значение tan(3*pi/4). Использовать pade найти аппроксиматор Паде для tan(x) и заменить его с помощью subs найти tan(3*pi/4).

syms x
f = tan(x);
P = pade(f);
y = subs(P,x,3*pi/4)

y =
(pi*((9*pi^2)/16 - 15))/(4*((9*pi^2)/8 - 5))

Использовать vpa преобразовать y в числовое значение.

vpa(y)

ans =
-1.2158518789569086447244881326842

Повышение точности аппроксиманта Паде

Можно увеличить точность аппроксиманта Паде, увеличив порядок. Если точка расширения является полюсом или нулем, точность также может быть увеличена путем установки OrderMode кому relative. OrderMode не действует, если точка расширения не является полюсом или нулем.

Найти приближение Паде tan(x) использование pade с точкой расширения 0 и Order из [1 1]. Найти значение tan(1/5) подстановкой в аппроксиматор Паде с использованием subsи использовать vpa преобразовать 1/5 в числовое значение.

syms x
p11 = pade(tan(x),x,0,'Order',[1 1])
p11 = subs(p11,x,vpa(1/5))

p11 =
x
p11 =
0.2

Поиск аппроксимационной ошибки путем вычитания p11 от фактического значения tan(1/5).

y = tan(vpa(1/5));
error = y - p11

error =
0.0027100355086724833213582716475345

Увеличить точность аппроксиматора Паде, увеличив порядок с помощью Order. Набор Order кому [2 2]и найдите ошибку.

p22 = pade(tan(x),x,0,'Order',[2 2])
p22 = subs(p22,x,vpa(1/5));
error = y - p22

p22 =
-(3*x)/(x^2 - 3)
error =
0.0000073328059697806186555689448317799

Точность увеличивается с увеличением порядка.

Если точка расширения является полюсом или нулем, точность аппроксиманта Паде уменьшается. Установка OrderMode опция для relative компенсирует снижение точности. Для получения более подробной информации см. Padé Approximant. Потому что tan функция имеет ноль при 0, настройка OrderMode кому relative повышение точности. Эта опция не действует, если точка расширения не является полюсом или нулем.

p22Rel = pade(tan(x),x,0,'Order',[2 2],'OrderMode','relative')
p22Rel = subs(p22Rel,x,vpa(1/5));
error = y - p22Rel

p22Rel =
(x*(x^2 - 15))/(3*(2*x^2 - 5))
error =
0.0000000084084014806113311713765317725998

Точность увеличивается, если точкой расширения является полюс или нуль и OrderMode имеет значение relative.

Точность графика аппроксиманта Padé

Постройте график разницы между exp(x) и его Padé приблизительные порядки [1 1] через [4 4]. Использовать axis сосредоточить внимание на интересующем регионе. График показывает, что точность увеличивается с увеличением порядка аппроксиманта Паде.

syms x
expr = exp(x);

hold on
grid on

for i = 1:4
    fplot(expr - pade(expr,'Order',i))
end

axis([-4 4 -4 4])
legend('Order [1,1]','Order [2,2]','Order [3,3]','Order [4,4]',...
                                            'Location','Best')
title('Difference Between exp(x) and its Pade Approximant')
ylabel('Error')