Числа Бернулли с нечетными и четными индексами

0-е число Бернулли - 1. Следующим числом Бернулли может быть -1/2 или 1/2, в зависимости от определения. bernoulli функции использует -1/2. Числа Бернулли с четными индексами n > 1 чередовать знаки. Любое число Бернулли с нечетным индексом n > 2 является 0.

Вычислите чётно-индексированные числа Бернулли с индексами из 0 кому 10. Поскольку эти индексы не являются символическими объектами, bernoulli возвращает результаты с плавающей запятой.

bernoulli(0:2:10)

ans =
    1.0000    0.1667   -0.0333    0.0238   -0.0333    0.0758

Вычислите те же самые числа Бернулли для индексов, преобразованных в символические объекты:

bernoulli(sym(0:2:10))

ans =
[ 1, 1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66]

Вычислите нечетно индексированные числа Бернулли с индексами из 1 кому 11:

bernoulli(sym(1:2:11))

ans =
[ -1/2, 0, 0, 0, 0, 0]

Полиномы Бернулли

Для многочленов Бернулли используйте bernoulli с двумя входными аргументами.

Вычисление первого, второго и третьего многочленов Бернулли в переменных x, y, и z, соответственно:

syms x y z
bernoulli(1, x)
bernoulli(2, y)
bernoulli(3, z)

ans =
x - 1/2
 
ans =
y^2 - y + 1/6
 
ans =
z^3 - (3*z^2)/2 + z/2

Если вторым аргументом является число, bernoulli вычисляет многочлен в этом числе. Здесь результатом является число с плавающей запятой, поскольку входные аргументы не являются символьными числами:

bernoulli(2, 1/3)

ans =
   -0.0556

Чтобы получить точный символический результат, преобразуйте хотя бы одно из чисел в символический объект:

bernoulli(2, sym(1/3))

ans =
-1/18

Построить полиномы Бернулли

Постройте график первых шести полиномов Бернулли.

syms x
fplot(bernoulli(0:5, x), [-0.8 1.8])
title('Bernoulli Polynomials')
grid on

Обрабатывать выражения, содержащие многочлены Бернулли

Многие функции, такие как diff и expand, обрабатывает выражения, содержащие bernoulli.

Найдите первую и вторую производные многочлена Бернулли:

syms n x
diff(bernoulli(n,x^2), x)

ans =
2*n*x*bernoulli(n - 1, x^2)

diff(bernoulli(n,x^2), x, x)

ans =
2*n*bernoulli(n - 1, x^2) +...
4*n*x^2*bernoulli(n - 2, x^2)*(n - 1)

Разверните следующие выражения, содержащие многочлены Бернулли:

expand(bernoulli(n, x + 3))

ans =
bernoulli(n, x) + (n*(x + 1)^n)/(x + 1) +...
(n*(x + 2)^n)/(x + 2) + (n*x^n)/x

expand(bernoulli(n, 3*x))

ans =
(3^n*bernoulli(n, x))/3 + (3^n*bernoulli(n, x + 1/3))/3 +...
(3^n*bernoulli(n, x + 2/3))/3