гармоника

Гармоническая функция (гармоническое число)

Синтаксис

гармоника (x)

Описание

harmonic(x) возвращает гармоническую функцию x. Для целых значений x, harmonic(x) генерирует гармонические числа.

Примеры

Генерировать гармонические числа

Создайте первые 10 гармонических чисел.

harmonic(sym(1:10))

ans =
[ 1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520]

Гармоническая функция для числовых и символьных аргументов

Найдите функцию гармоник для этих чисел. Так как это не символические объекты, получаются результаты с плавающей запятой.

harmonic([2 i 13/3])

ans =
   1.5000 + 0.0000i   0.6719 + 1.0767i   2.1545 + 0.0000i

Найдите функцию гармоник символически, преобразовав числа в символические объекты.

y = harmonic(sym([2 i 13/3]))

y =
[ 3/2, harmonic(1i), 8571/1820 - (pi*3^(1/2))/6 - (3*log(3))/2]

Если знаменатель x равно 2, 3, 4 или 6, и | x | < 500, то результат выражается в терминах pi и log.

Использовать vpa для аппроксимации полученных результатов.

vpa(y)

ans =
[ 1.5, 0.67186598552400983787839057280431...
 + 1.07667404746858117413405079475i,...
 2.1545225442213858782694336751358]

Для | x | > 1000 ,harmonic возвращает вызов функции как есть. Использовать vpa вызвать harmonic для оценки вызова функции.

harmonic(sym(1001))
vpa(harmonic(sym(1001)))

ans =
harmonic(1001)
ans =
7.4864698615493459116575172053329

Гармоническая функция для специальных значений

Найдите функцию гармоник для специальных значений.

harmonic([0 1 -1 Inf -Inf])

ans =
     0     1   Inf   Inf   NaN

Гармоническая функция для символьных функций

Поиск гармонической функции для символической функции f.

syms f(x)
f(x) = exp(x) + tan(x);
y = harmonic(f)

y(x) =
harmonic(exp(x) + tan(x))

Гармоническая функция для символьных векторов и матриц

Найти гармоническую функцию для элементов вектора V и матрица M.

syms x
V = [x sin(x) 3*i];
M = [exp(i*x) 2; -6 Inf];
harmonic(V)
harmonic(M)

ans =
[ harmonic(x), harmonic(sin(x)), harmonic(3i)]
ans =
[ harmonic(exp(x*1i)), 3/2]
[                Inf, Inf]

График гармонической функции

Постройте график гармонической функции из x = от -5 до x = 5.

syms x
fplot(harmonic(x),[-5 5])
grid on

Figure contains an axes. The axes contains an object of type functionline.

Дифференцировать и находить предел гармонической функции

Функции diff и limit выражения дескриптора, содержащие harmonic.

Найти вторую производную harmonic(x^2+1).

syms x
diff(harmonic(x^2+1),x,2)

ans =
2*psi(1, x^2 + 2) + 4*x^2*psi(2, x^2 + 2)

Найти предел harmonic(x) как x имеет тенденцию к ∞ и (x+1)*harmonic(x) как x имеет тенденцию к -1.

syms x
limit(harmonic(x),Inf)
limit((x+1)*harmonic(x),-1)

ans =
Inf
ans =
-1

Расширение гармонической функции серии Тейлора

Использовать taylor для расширения гармонической функции в терминах ряда Тейлора.

syms x
taylor(harmonic(x))

ans =
(pi^6*x^5)/945 - zeta(5)*x^4 + (pi^4*x^3)/90...
 - zeta(3)*x^2 + (pi^2*x)/6

Развернуть функцию гармоник

Использовать expand для расширения гармонической функции.

syms x
expand(harmonic(2*x+3))

ans =
harmonic(x + 1/2)/2 + log(2) + harmonic(x)/2 - 1/(2*(x + 1/2))...
 + 1/(2*x + 1) + 1/(2*x + 2) + 1/(2*x + 3)

Входные аргументы

свернуть все

`x` - Вход
число | вектор | матрица | многомерный массив | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица | символьный массив N-D

Ввод, заданный как число, вектор, матрица или как многомерный массив или символьная переменная, выражение, функция, вектор, матрица или многомерный массив.

Подробнее

свернуть все

Гармоническая функция

Гармоническая функция для x определяется как

$гармоника (x)_{=}^{Startk} \frac{}{=}$ 1x1k

Он также определяется как

$гармоника (x) = (x$ + 1) + γ

где (x) - функция полигаммы, а γ - постоянная Эйлера - Маскерони .

Алгоритмы

Гармоническая функция определяется для всех комплексных аргументов z, кроме отрицательных целых чисел -1, -2,... где происходит сингулярность.

Если x имеет знаменатель 1, 2, 3, 4 или 6, затем вычисляется и возвращается явный результат. Для других рациональных чисел harmonic использует $функциональную гармонику$ уравнений (x + 1) = гармоника (x) + 1x для получения результата с аргументом x из интервала [0, 1].

expand расширяется harmonic с использованием $гармоники$ уравнений (x + 1) = гармоника (x $) + 1x, гармоника (− x) = \frac{}{} гармоника (x$ ) − 1x + securitycot (securityx) и формулы умножения Гаусса дляharmonic(kx), где k - целое число.

harmonic реализует следующие явные формулы:

$гармоника \frac{(−}{} 12) = -$ 2ln (2)

$гармоника (\frac{−}{} 23) \frac{}{=} - \frac{\sqrt{32ln}}{} ($ 3) − 36δ

$гармоника (\frac{−}{} 13) \frac{}{=} - \frac{\sqrt{32ln}}{} ($ 3) + 36δ

$гармоника \frac{(−}{} 34) = - \frac{3ln}{}$ (2) − ø2

$гармоника \frac{(−}{} 14) = - \frac{3ln}{}$ (2) + security2

$гармоника \frac{(−}{} 56) = - \frac{2ln}{} (2) - \frac{\sqrt{}}{}$ 32ln (3) − 32δ

$гармоника \frac{(−}{} 16) = - \frac{2ln}{} (2) - \frac{\sqrt{}}{}$ 32ln (3) + 32δ

$гармоника (0)$ = 0

$гармоника \frac{(}{} 12) = 2 -$ 2ln (2)

$гармоника \frac{(}{} 13) = \frac{}{3} - \frac{\sqrt{32ln}}{} ($ 3) − 36δ

$гармоника \frac{(}{} 23) \frac{}{=} \frac{}{32} - \frac{\sqrt{32ln}}{} ($ 3) + 36δ

$гармоника \frac{(}{} 14) = 4 - \frac{3ln}{}$ (2) − ø2

$гармоника \frac{(}{} 34) \frac{}{=} 43 - \frac{3ln}{}$ (2) + security2

$гармоника \frac{(}{} 16) = 6 - \frac{2ln}{} (2) - \frac{\sqrt{}}{}$ 32ln (3) − 32δ

$гармоника \frac{(}{} 56) \frac{}{=} 65 - \frac{2ln}{} (2) - \frac{\sqrt{}}{}$ 32ln (3) + 32δ

$гармоника (1)$ = 1

$гармоника (\infty)$ =∞

$гармоника (-\infty) =$ NaN

См. также

Представлен в R2014a

Документация