icwt функция реализует обратный CWT. Используя icwt требует получения CWT от cwt.
Поскольку CWT является избыточным преобразованием, нет уникального способа определения обратного. Обратная CWT, реализованная в Toolbox™ вейвлета, использует аналитический вейвлет Морса и нормализацию L1.
Обратный CWT классически представлен в двойно-интегральной форме. Предположим, что у вас есть вейвлет, с преобразованием Фурье, которое удовлетворяет условию допустимости:
Для вейвлетов, удовлетворяющих условию допустимости и конечным энергетическим функциям, f (t), можно определить обратный CWT как:
t) db daa2
где − ba).
Для анализа вейвлетов и функций, удовлетворяющих следующим условиям, существует единая интегральная формула для обратного CWT. Эти условия:
Анализируемая функция f (t) является вещественной, и анализирующий вейвлет имеет вещественное преобразование Фурье.
Анализируемая функция f (t) является вещественной, и преобразование Фурье анализирующего вейвлета имеет поддержку только на множестве неотрицательных частот. Это называется аналитическим вейвлетом. Функция, преобразование Фурье которой поддерживает только множество неотрицательных частот, должна быть комплексной.
Предшествующие условия ограничивают набор возможных анализирующих вейвлетов. Вейвлеты, поддерживаемые cwt являются аналитическими. Поскольку панель инструментов поддерживает только анализ вещественных функций, условие вещественных значений анализируемой функции всегда выполняется.
Чтобы мотивировать единичную интегральную формулу, пусть λ 1 и λ 2 - два вейвлета, удовлетворяющие следующему условию допустимости двух вейвлетов:
Определите константу:
Вышеуказанная константа может быть комплексной. Пусть f (t) и g (t) - две конечные энергетические функции. Если условие допустимости с двумя вейвлетами выполнено, выполняется следующее равенство:
где <, > обозначает внутреннее произведение, * обозначает комплексное сопряжение, и для удобства была подавлена зависимость, выраженная в λ 1 и, ((() 2) от масштаба и положения.
Ключом к единой интегральной формуле для обратного CWT является признание того, что условие допустимости двух вейвлетов может быть выполнено, даже если один из вейвлетов не допустим. Другими словами, нет необходимости в том, чтобы по отдельности допускались как λ 1, так и λ 2. Вы также можете ослабить требования, разрешив одной из функций и вейвлетов быть распределением. Сначала допустив, что g (t) - дельта-функция Дирака (распределение), а также разрешив, чтобы «» δ 2 «» - дельта-функция Дирака, можно вывести единичную интегральную формулу для обратного CWT.
),
где Re {} обозначает действительную часть.
Предыдущее уравнение демонстрирует, что можно восстановить сигнал путем суммирования масштабированных коэффициентов CWT по всем масштабам.
Суммирование масштабированных коэффициентов CWT из выбранных шкал позволяет получить аппроксимацию к исходному сигналу. Это полезно в ситуациях, когда интересующий вас феномен локализован по масштабу.
icwt реализует дискретизированную версию вышеуказанного интеграла.