Подъем банка фильтров

В этом примере показано, как использовать подъем для постепенного изменения свойств идеального набора восстановительных фильтров. На следующем рисунке показаны три канонических шага при подъеме: разделение, прогнозирование и обновление.

Первый шаг в подъеме состоит в том, чтобы просто разделить сигнал на его четные и нечетные выборки. Они называются полифазными компонентами, и этот шаг в процессе подъема часто называют «ленивым» шагом подъема, потому что вы действительно не выполняете такую большую работу. Сделать это можно в MATLAB™, создав «ленивую» схему подъёма с помощью liftingScheme с настройками по умолчанию.

LS = liftingScheme;

Используйте схему подъема для получения вейвлет-разложения уровня 1 случайного сигнала.

x = randn(8,1);
[ALazy,DLazy] = lwt(x,'LiftingScheme',LS,'Level',1);

Индексы MATLAB от 1 так ALazy содержит нечетно индексированные выборки x и DLazy содержит четно-индексированные выборки. Большинство объяснений подъема предполагают, что сигнал начинается с выборки 0, поэтому ALazy будут четными индексированными выборками и DLazy выборки с нечетным индексом. Этот пример следует за последним соглашением. «Ленивое» вейвлет-преобразование обрабатывает половину сигнала как вейвлет-коэффициенты, DLazyи другая половина в качестве коэффициентов масштабирования, ALazy. Это совершенно согласовано в контексте подъема, но простое разделение данных действительно сокращает или фиксирует любые релевантные детали.

Следующим шагом в схеме подъема является прогнозирование нечетных образцов на основе четных образцов. Теоретическая основа этого состоит в том, что большинство естественных сигналов и изображений демонстрируют корреляцию между соседними выборками. Соответственно, можно «предсказать» нечетно индексированные выборки, используя четно-индексированные выборки. Разница между вашим прогнозом и фактическим значением является «детализацией» в данных, пропущенных предиктором. Эта отсутствующая деталь содержит вейвлет-коэффициенты.

В форме уравнения можно записать этап прогнозирования как $${}_{\mathrm{dj}}(n){}_{=\mathrm{}}dj-1(n{)}_{-\mathrm{P}}$$(aj-1), $${}_{\mathrm{}}где$$dj-1 (n) - вейвлет-коэффициенты в более мелком $${}_{\mathrm{масштабе,}\mathrm{}}$$а aj-1 - некоторое количество коэффициентов масштабирования в более мелком масштабе$$$$. P (⋅) является оператором прогнозирования.

Добавьте простой (Haar) шаг прогнозирования, который вычитает четный (аппроксимационный) коэффициент из нечетного (детального) коэффициента. В этом случае оператор прогнозирования является просто $$(-1){}_{\mathrm{}}aj-1($$n). Другими словами, он предсказывает нечетные выборки на основе непосредственно предшествующей четной выборки.

ElemLiftStep = liftingStep('Type','predict','Coefficients',-1,'MaxOrder',0);

Вышеприведенный код говорит "создать шаг подъема с элементарным предсказанием, используя многочлен в $$z$$ с наибольшей мощностью $${}^{\mathrm{z0}}$$. Коэффициент равен -1. Обновить ленивую схему подъема.

LSN = addlift(LS,ElemLiftStep);

Примените к сигналу новую схему подъема.

[A,D] = lwt(x,'LiftingScheme',LSN,'Level',1);

Обратите внимание, что элементы A идентичны таковым в ALazy. Ожидается, что коэффициенты аппроксимации не были изменены.

[A ALazy]

ans = 4×2

    0.5377    0.5377
   -2.2588   -2.2588
    0.3188    0.3188
   -0.4336   -0.4336

Если вы посмотрите на элементы D{1}, вы видите, что они равны DLazy{1}-ALazy.

Dnew = DLazy{1}-ALazy;
[Dnew D{1}]

ans = 4×2

    1.2962    1.2962
    3.1210    3.1210
   -1.6265   -1.6265
    0.7762    0.7762

Выдержать сравнение Dnew кому D. Представьте пример, где сигнал был кусочно постоянным на каждые две выборки.

v = [1 -1 1 -1 1 -1];
u = repelem(v,2)

u = 1×12

     1     1    -1    -1     1     1    -1    -1     1     1    -1    -1

Применить новую схему подъема к u.

[Au,Du] = lwt(u,'LiftingScheme',LSN,'Level',1);
Du{1}

ans = 6×1

     0
     0
     0
     0
     0
     0

Вы видите, что все Du равны нулю. Этот сигнал был сжат, потому что вся информация теперь содержится в 6 выборках вместо 12 выборок. Можно легко восстановить исходный сигнал

urecon = ilwt(Au,Du,'LiftingScheme',LSN);
max(abs(u(:)-urecon(:)))

ans = 0

На этапе прогнозирования вы предсказали, что соседняя нечетная выборка в вашем сигнале имела то же значение, что и непосредственно предшествующая четная выборка. Очевидно, что это справедливо только для тривиальных сигналов. Вейвлет-коэффициенты фиксируют разность между предсказанием и фактическими значениями (в нечетных выборках). Наконец, используйте этап обновления для обновления четных выборок на основе различий, полученных на этапе прогнозирования. В этом случае обновите, используя следующие $${}_{\mathrm{aj}}(n){}_{=\mathrm{}}aj-1{(}_{n)\mathrm{}}+\mathrm{}$$dj-1 (n )/2. Это заменяет каждый чётно-индексированный коэффициент на среднее арифметическое чётного и нечётного коэффициентов.

elsUpdate = liftingStep('Type','update','Coefficients',1/2,'MaxOrder',0);
LSupdated = addlift(LSN,elsUpdate);

Получить вейвлет-преобразование сигнала с обновленной схемой подъема.

[A,D] = lwt(x,'LiftingScheme',LSupdated,'Level',1);

Если сравнивать A к исходному сигналу, x, вы видите, что среднее значение сигнала фиксируется в коэффициентах аппроксимации.

[mean(A) mean(x)]

ans = 1×2

   -0.0131   -0.0131

Фактически, элементы A легко получить из x следующим образом.

n = 1;
for ii = 1:2:numel(x)
    meanz(n) = mean([x(ii) x(ii+1)]);
    n = n+1;
end

Выдержать сравнение meanz и A. Как всегда, можно перевернуть схему подъема, чтобы получить идеальную реконструкцию данных.

xrec = ilwt(A,D,'LiftingScheme',LSupdated);
max(abs(x-xrec))

ans = 2.2204e-16

Распространено добавить шаг нормализации в конце так, чтобы энергия в сигнале ($${}^{\mathrm{\ell 2}}$$ нормы) была сохранена как сумма энергий в коэффициентах небольшой волны и вычислении. Без этого шага нормализации энергия не сохраняется.

norm(x,2)^2

ans = 11.6150

norm(A,2)^2+norm(D{1},2)^2

ans = 16.8091

Добавьте необходимый шаг нормализации.

LSsteps = LSupdated.LiftingSteps;
LSscaled = liftingScheme('LiftingSteps',LSsteps,'NormalizationFactors',[sqrt(2)]);
[A,D] = lwt(x,'LiftingScheme',LSscaled,'Level',1);
norm(A,2)^2+norm(D{1},2)^2

ans = 11.6150

Теперь $${}^{\mathrm{\ell 2}}$$ норма сигнала равна сумме энергий в коэффициентах масштабирования и вейвлета. Схема подъема, разработанная в этом примере, представляет собой схему подъема Хаара.

Вейвлет Toolbox™ поддерживает многие часто используемые схемы подъема через liftingScheme с предопределенными шагами прогнозирования и обновления и коэффициентами нормализации. Например, можно получить схему подъема Haar следующим образом.

lshaar = liftingScheme('Wavelet','haar');

Чтобы увидеть, что не все схемы подъема состоят из отдельных этапов прогнозирования и обновления подъема, изучите схему подъема, которая соответствует bior3.1 вейвлет.

lsbior3_1 = liftingScheme('Wavelet','bior3.1')

lsbior3_1 = 
 	 Wavelet              : 'bior3.1' 
 	 LiftingSteps         : [3 × 1] liftingStep 
 	 NormalizationFactors : [2.1213 0.4714] 
 	 CustomLowpassFilter  : [] 


 Details of LiftingSteps :
            Type: 'update'
    Coefficients: -0.3333
        MaxOrder: -1

            Type: 'predict'
    Coefficients: [-0.3750 -1.1250]
        MaxOrder: 1

            Type: 'update'
    Coefficients: 0.4444
        MaxOrder: 0