Абсолютная стабильность для квантованной системы

Этот пример использует:

Этот пример показывает, как обеспечить абсолютную стабильность, когда линейная инвариантная по времени система находится в соединении с обратной связью со статической нелинейностью, которая принадлежит коническому сектору.

Подключение с обратной связью

Рассмотрите подключение с обратной связью, как показано на фигуре 1.

Фигура 1: Подключение обратной связи

$G$ является линейной инвариантной по времени системой и $N(y)$ является статической нелинейностью, которая принадлежит коническому сектору ( $[\alpha,\beta]$ где); $\alpha<\beta$ то есть,

$\alpha y^2<~yN(y)<~\beta y^2$

В данном примере $G$ является следующей системой дискретного времени.

addpath(fullfile(matlabroot,'examples','control','main')) % add example data


A = [0.9995, 0.0100, 0.0001;
    -0.0020, 0.9995, 0.0106;
          0,      0, 0.9978];
B = [0, 0.002, 0.04]';
C = [2.3948, 0.3303, 2.2726];
D = 0;
G = ss(A,B,C,D,0.01);

Ограниченная сектор нелинейность

В этом примере нелинейность $N(y)$ является логарифмическим квантователем, который определяется следующим образом:

$N(y) = \left\{ \begin{array}{ll} \rho^j, & \mbox{if~ $
\frac{1+\rho}{2}\rho^j < y \leq \frac{1+\rho}{2\rho}\rho^j$};\\0, &
\mbox{if ~$y = 0$}; \\ -N(-y), & \mbox{if~ $y < 0$} \end{array} \right.
$

где,. $j\in \{0,\pm1,\pm2,\dots \}$ Этот квантователь принадлежит сектору, связанному между собой. $[\frac{2\rho}{1+\rho},\frac{2}{1+\rho}]$ Например, если, $\rho = 0.1$ то квантователь принадлежит к коническому сектору [0,1818,1,8182].

% Quantizer parameter
rho = 0.1;
% Lower bound
alpha = 2*rho/(1+rho)
% Upper bound
beta = 2/(1+rho)

alpha =

    0.1818


beta =

    1.8182

Постройте график секторных границ квантователя.

PlotSectorBound(rho)

$\rho$ представляет плотность квантования, где. $0<\rho<1$ Если $\rho$ больше, то квантованное значение более точно. Для получения дополнительной информации об этом квантователе см. [1].

Условие конического сектора для абсолютной устойчивости

Коническая матрица сектора для квантователя задается как

$Q = \left(\begin{array}{cc} 1 & -\frac{\alpha+\beta}{2} \\
-\frac{\alpha+\beta}{2} & \alpha\beta \end{array}\right).$

Чтобы гарантировать стабильность соединения с обратной связью на фигуре 1, линейная система $G$ должна удовлетворять

$\int_0^T \left(\begin{array}{c} u(t)\\-y(t)\end {array} \right)^T Q
\left(\begin{array}{c} u(t)\\-y(t)\end {array} \right) > 0$

где, $u$ и $y$ являются входом и выходом, $G$ соответственно.

Это условие можно проверить, проверяя, $R$ меньше ли индекс сектора 1.

Задайте коническую матрицу сектора для квантователя с. $\rho = 0.1$

Q = [1,-(alpha+beta)/2;-(alpha+beta)/2,alpha*beta];

Получите индекс сектора для Q и G.

R = getSectorIndex([1;-G],-Q)

R =

    1.8247

Поскольку $R>1$ система с обратной связью не является стабильной. Чтобы увидеть эту нестабильность, используйте следующую модель Simulink.

mdl = 'DTQuantization';
open_system(mdl)

Запустите модель Simulink.

sim(mdl)
open_system('DTQuantization/output')

По выходу траектории видно, что система с обратной связью не стабильна. Это связано с тем, что квантователь с $\rho = 0.1$ слишком грубым.

Увеличьте плотность квантования, позволяя. $\rho = 0.25$ Квантователь относится к коническому сектору [0.4.1.6].

% Quantizer parameter
rho = 0.25;
% Lower bound
alpha = 2*rho/(1+rho)
% Upper bound
beta = 2/(1+rho)

alpha =

    0.4000


beta =

    1.6000

Постройте график секторных границ квантователя.

PlotSectorBound(rho)

Задайте коническую матрицу сектора для квантователя с. $\rho = 0.25$

Q = [1,-(alpha+beta)/2;-(alpha+beta)/2,alpha*beta];

Получите индекс сектора для Q и G.

R = getSectorIndex([1;-G],-Q)

R =

    0.9702

Квантователь с $\rho = 0.25$ удовлетворяет коническому секторному условию устойчивости соединения с обратной связью с момента. $R<1$

Запустите модель Simulink с. $\rho = 0.25$

sim(mdl)
open_system('DTQuantization/output')

Как указывает индекс сектора, система с обратной связью является стабильной.

Ссылка

[1] M. Fu and L. Xie, «Секторальный подход к квантованному контролю обратной связи», Транзакции IEEE по автоматическому управлению 50 (11), 2005, 1698-1711.

bdclose(mdl);
rmpath(fullfile(matlabroot,'examples','control','main')) % remove example data

Документация

Абсолютная стабильность для квантованной системы

Подключение с обратной связью

Ограниченная сектор нелинейность

Условие конического сектора для абсолютной устойчивости

Ссылка

Control System Toolbox документация

Поддержка