Многомерные и рациональные сплайны

Многомерные сплайны

Многомерные сплайны могут быть получены из одномерных сплайнов конструкцией тензорного продукта. Для примера тривариатный сплайн в B-форме задается как

$f (x, y, z) = \sum_{u = 1}^{U} \sum_{v = 1}^{V} \sum_{w = 1}^{W} B_{u, k} (x) B_{v, l} (y) B_{w, m} (z) a_{u, v, w}$

с _{Bu,k,Bv,l,Bw,m} одномерными B-сплайнами. Соответственно, этот сплайн имеет порядок <reservedrangesplaceholder5> в x, порядок <reservedrangesplaceholder3> в y и порядок <reservedrangesplaceholder1> в z. Точно так же ppform тензорного сплайна задается последовательностями пропусков в каждой из переменных и, для каждого заданного таким образом гиперпрямоугольника, массивом коэффициентов. Кроме того, как и в одномерном случае, коэффициенты могут быть векторами, обычно 2-векторами или 3-векторами, что позволяет представлять, например, определенные поверхности в ℜ³.

Очень другим двухмерным сплайном является тонкопластинчатый сплайн. Это функция вида

$f (x) = \sum_{j = 1}^{n - 3} Ψ (x - c_{j}) a_{j} + x (1) a_{n - 2} + x (2) a_{n - 1} + a_{n}$

с (x) =|<reservedrangesplaceholder0>|²Журнал | x |² тонкоплитные сплайны базиса функции и |<reservedrangesplaceholder8>|, обозначающие евклидову длину вектора x. Здесь для удобства обозначим независимую переменную по x, но x теперь это вектор, два компонента которого, x (1) и x (2), играют роль двух независимых переменных, ранее обозначенных x и y. Соответственно, cj сайтов являются точками в ℜ².

Тонкопластинчатые сплайны возникают как двухмерные сглаживающие сплайны, что означает, что тонкопластинчатый сплайн минимизирует

$p \sum_{i = 1}^{n - 3} | y_{i} - f c_{i}^{2} | + (1 - p) \int ({| D_{1} D_{1} f |}^{2} + 2 {| D_{1} D_{2} f |}^{2} + {| D_{2} D_{2} f |}^{2})$

по всем достаточно плавным функциям f. Здесь _yi значения данных, заданные в сайтах данных _ci, p является параметром сглаживания и _Djf обозначает частную производную f относительно x (j). Интеграл берется за всю ℜ². Верхний предел суммирования, n -3, отражает тот факт, что 3 степени свободы тонкопластинчатого сплайна связаны с его полиномиальной частью.

Тонкопластинчатые сплайны являются функциями в виде ступеней, что означает, что вплоть до некоторых полиномиальных членов они являются взвешенной суммой произвольных или рассеянных переводов Эта так называемая функция базиса для тонкопластинчатого сплайна особенна тем, что она радиально симметрична, что означает, что И (x) зависит только от евклидовой длины, |<reservedrangesplaceholder1>|, x. По этой причине тонкопластинчатые сплайны также известны как RBF или радиальные функции базиса. Для получения дополнительной информации см. построение и работа со сплайнами типа».

Рациональные сплайны

Рациональный сплайн является любой функцией вида r (x) = s (x )/ w (x), как с s, так и с w сплайнами и, в частности, w скалярным сплайном, в то время как s часто оценивается векторно.

Рациональные сплайны привлекательны, потому что можно описать различные основные геометрические формы, такие как конические сечения, именно как область значений рациональных сплайнов. Для примера окружность может быть описана квадратичным рациональным сплайном с двумя частями.

В этом тулбоксе существует дополнительное требование, чтобы и s, и w были одинаковой формы и даже одного порядка, и с одним и тем же узлом или последовательностью пропуска. Это позволяет хранить рациональный сплайн r как обыкновенный сплайн R значение которого на x является вектором [s (x); w (x)]. В зависимости от того, находятся ли эти два сплайна в B-форме или ppform, такое представление называется здесь rBform или rpform такого рационального сплайна.

Легко получить r от R. Для примера, если v - значение R в x, затем v(1:end-1)/v(end) - значение r в x. В качестве другого примера рассмотрим получение производных r от производных R. Потому что s = wr, правило Лейбница говорит нам, что

$D^{m} s = \sum_{j = 0}^{m} (\begin{matrix} m \\ j \end{matrix}) D^{j} w D^{m - j} r$

где D^ms - m-я производная s .

Следовательно, если v(:,j) содержит D^j–1R (<reservedrangesplaceholder2>) , j = 1... m + 1, затем

$(((v (1 : end - 1, m + 1) - \sum_{j = 1}^{m} (\begin{matrix} m \\ j \end{matrix}) v (конец, j + 1) v (1 : конец - 1, j + 1)) / v (конец, 1))$

задает значение D^mR (x).

Документация