Распределение узлов «оптимально» для интерполяции
knots = optknt(tau,k,maxiter)
optknt(tau,k)
knots = optknt(tau,k,maxiter) обеспечивает последовательность узлов t это лучше всего подходит для интерполяции из S k, t в последовательности узлов tau, с 10 значение по умолчанию для необязательного входного maxiter это ограничивает количество итераций, которые будут использоваться в этом усилии. Здесь лучше всего или оптимально используется в смысле Micchelli/Rivlin/Winograd и Gaffney/Powell, а это означает следующее: Для любой схемы восстановления
R которая обеспечивает интерполяционную Rg, которая соответствует заданному g на сайтах tau(1)..., tau(n), мы можем определить самый маленький постоянный const <reservedrangesplaceholder3> для который <reservedrangesplaceholder2> - <reservedrangesplaceholder1> const <reservedrangesplaceholder0> ‖Dkg ‖ для всех плавных функций g .
Здесь, <reservedrangesplaceholder9> : =suptau (1) <x <tau (n) | f (<reservedrangesplaceholder6>) |. Тогда мы можем искать оптимальную схему восстановления как схему R для которой const R как можно меньше. Микчелли/Ривлин/Виноград показали, что это интерполяция от S k, t, с t однозначно определяется следующими условиями:
t(1) = ... = t(k) = tau(1);
t(n+1) = ... = t(n+k) = tau(n);
Любая абсолютно постоянная функция, h с изменениями знаков на сайтах t(k+1) ..., t(n) и нигде больше не удовлетворяет
Гаффни/Пауэлл назвали эту схему интерполяции оптимальной, поскольку она обеспечивает центральную функцию в полосе, образованной всеми интерполянтами, к данным, которые, кроме того, имеют k производную между M и - M (для больших M).
optknt(tau,k) то же, что и optknt(tau,k,10).
Смотрите последнюю часть примера «Сплайн интерполяция» для рисунка. Для следующей сильно неоднородной последовательности узлов
t = [0, .0012+[0, 1, 2+[0,.1], 4]*1e-5, .002, 1];
а команда optknt(t,3) будет неудачен, в то время как команда optknt(t,3,20), используя высокое значение для опционального параметра maxiter, преуспеет.
Это стандартная программа Фортрана SPLOPT в PGS. Он основан на алгоритме, описанном в [1], для конструкции этой знаковой функции, h упомянуто выше. Это по сути метод Ньютона для решения полученной нелинейной системы уравнений с aveknt(tau,k) предоставление первой догадки для t(k+1)..., t(n)и некоторое демпфирование использовалось для поддержания условий Шенберга-Уитни.
[1] С. де Бур. «Вычислительные аспекты оптимального восстановления». В оптимальной оценке в теории приближения, C.A. Micchelli & T.J. Rivlin eds., Plenum Publ., New York, 1977, 69-91.
[2] P.W. Gaffney & M.J.D. Пауэлл. «Оптимальная интерполяция». В «Численном анализе» Г. А. Уотсон., Лекции по математике, № 506, Springer-Verlag, 1976, 90-99.
[3] C.A. Micchelli, T.J. Rivlin & S. Winograd. «Оптимальное восстановление плавных функций». Числитель. Математика. 80, (1974), 903-906.
