MMSE прогнозирование условных средних моделей

Что такое прогнозы MMSE?

Общей целью моделирования временных рядов является генерация прогнозов для процесса в будущем временном горизонте. То есть, учитывая наблюдаемый ряд y 1, _y 2,..._, yN и h горизонта прогноза, генерируют предсказания для $y_{N + 1}, y_{N + 2}, \dots, y_{N + h} .$

Давайте ${\hat{y}}_{t + 1}$ обозначает прогноз для процесса в момент времени t + 1, обусловленный историей процесса до временных t, _Ht и экзогенного ковариатного ряда до временных t + 1, X _{t +} 1, если в модель включен регрессионный компонент. Прогноз минимальной средней квадратной ошибки (MMSE) является прогнозом ${\hat{y}}_{t + 1}$ который минимизирует ожидаемые квадратные потери,

$E {(y_{t + 1} - {\hat{y}}_{t + 1} | H_{t}, X_{t + 1})}^{2} .$

Минимизация этой функции потерь приводит к прогнозу MMSE,

${\hat{y}}_{t + 1} = E (y_{t + 1} | H_{t}, X_{t + 1}) .$

Как `forecast` Генерирует прогнозы MMSE

The forecast функция генерирует прогнозы MMSE рекурсивно. Когда вы звоните forecast, вы задаете модель Mdl, прогнозируемый горизонт numperiods, и примитивные отклики Y0. Можно опционально задать предварительный образец инноваций 'E0', условные отклонения 'V0', и экзогенные данные 'X0' при помощи аргументов пары "имя-значение". Хотя forecast не требует X0 или прогнозируйте выборку экзогенных данных XF, если вы задаете X0 затем необходимо также указать XF.

Чтобы начать прогнозирование с конца наблюдаемой серии, скажем Y, используйте последние несколько наблюдений Y как примитивные отклики Y0 для инициализации прогноза. Существуют несколько точек, которые следует иметь в виду при задании предварительных образцов данных:

Минимальное количество ответов, необходимых для инициализации прогнозирования, хранится в свойстве P arima модель. Если вы предоставляете слишком мало предварительных наблюдений, forecast возвращает ошибку.
Если вы прогнозируете модель с компонентом MA, то forecast требует предварительных инноваций. Количество необходимых инноваций хранится в свойстве Q arima модель. Если у вас также есть модель условного отклонения, вы должны дополнительно принять во внимание любые предварительные нововведения, которые она требует. Если вы задаете предварительные примеры инноваций, но их недостаточно, forecast возвращает ошибку.
Если вы не задаете никаких нововведений presample, но задаете достаточные отклики presample (по крайней мере P + Q) и экзогенные ковариатные данные (по крайней мере, количество прицельных откликов минус P), затем forecast автоматически выводит предварительные примеры инноваций. В целом, чем больше предварительный образец серии откликов вы предоставляете, тем лучше будут предполагаемые предварительные нововведения. Если вы предоставляете предварительные ответы и экзогенные ковариационные данные, но их недостаточно, forecast устанавливает предварительную выборку инноваций равным нулю.
Если вы прогнозируете модель с регрессионым компонентом, то forecast требует будущих экзогенных ковариационных данных для всех временных точек в прогнозном периоде (numperiods). Если вы предоставляете будущие экзогенные ковариационные данные, но их недостаточно, то forecast возвращает ошибку.

Рассмотрите создание прогнозов для процесса AR (2),

$y_{t} = c + ϕ_{1} y_{t - 1} + ϕ_{2} y_{t - 2} + ε_{t} .$

Данные предварительных наблюдений $y_{N - 1}$ и $y_{N},$ прогнозы рекурсивно генерируются следующим образом:

${\hat{y}}_{N + 1} = c + ϕ_{1} y_{N} + ϕ_{2} y_{N - 1}$
${\hat{y}}_{N + 2} = c + ϕ_{1} {\hat{y}}_{N + 1} + ϕ_{2} y_{N}$
${\hat{y}}_{N + 3} = c + ϕ_{1} {\hat{y}}_{N + 2} + ϕ_{2} {\hat{y}}_{N + 1}$

$⋮$

Для стационарного AR-процесса эта рекурсия сходится к безусловному среднему значению процесса,

$μ = \frac{c}{(1 - ϕ_{1} - ϕ_{2})} .$

Для процесса MA (2), например,

$y_{t} = μ + ε_{t} + θ_{1} ε_{t - 1} + θ_{2} ε_{t - 2},$

Для инициализации прогнозов вам нужно 2 предварительных нововведения. Все нововведения от времени N + 1 и выше настроены на их ожидание, нуль. Таким образом, для процесса MA (2) прогноз на любое время более чем на 2 шага в будущем является безусловным средним значением, μ.

Ошибка прогноза

Средняя квадратная ошибка прогноза для s -step впереди прогноза задается как

$MSE = E {(y_{t + s} - {\hat{y}}_{t + s} | H_{t + s - 1}, X_{t + s})}^{2} .$

Рассмотрим условную среднюю модель, заданную как

$y_{t} = μ + x_{t}^{'} β + ψ (L) ε_{t},$

где $ψ (L) = 1 + ψ_{1} L + ψ_{2} L^{2} + \dots$ . Суммируйте отклонения отстающих инноваций, чтобы получить s -step MSE,

$(1 + ψ_{1}^{2} + ψ_{2}^{2} + \dots + ψ_{s - 1}^{2}) σ_{ε}^{2},$

где $σ_{ε}^{2}$ обозначает инновационное отклонение.

Для стационарных процессов коэффициенты полинома оператора бесконечной задержки абсолютно суммируются, и MSE сходится к безусловному отклонению процесса.

Для нестационарных процессов серия не сходится, и ошибка прогноза растет с течением времени.

Документация