Документация

Обзор математики двухэтапных моделей

Этот раздел содержит обзор математики двухэтапных моделей. Комплексной ссылкой для двухэтапного моделирования являются Давидиан и Гильтинан [3]. Информация разделена на следующие разделы:

Lindstrom и Bates [6] определяют повторные измерения как данные, сгенерированные наблюдением ряда особей неоднократно в различных экспериментальных условиях, где индивидуумы считаются случайной выборкой из представляющей интерес населения. Важным классом повторных измерений являются продольные данные, где наблюдения упорядочены по времени или положению в пространстве. В более общем случае продольные данные определяются как повторные измерения, где наблюдения за отдельным индивидуумом не назначаются или не могут быть случайным образом отнесены к уровням обработки, представляющей интерес.

Данные моделирования этого рода обычно включают характеристику связи между измеренным откликом, y и повторным фактором измерения или ковариатным x. Часто, базовая систематическая связь между y и x является нелинейной. В некоторых случаях соответствующая нелинейная модель может быть выведена на физических или механистических основаниях. Однако в других контекстах нелинейное соотношение может быть введено просто для обеспечения удобного эмпирического описания данных. Наличие повторных наблюдений у индивидуума требует особой осторожности при характеристике изменения экспериментальных данных. В частности, важно явно представлять два источника изменения: случайные изменения среди измерений внутри данного индивидуума (intraindividual) и случайные изменения среди индивидуумов (interindividual). Инференциальные процедуры включают эти различные компоненты отклонения в рамках соответствующей иерархической статистической модели. Это фундаментальная идея анализа повторных данных измерений.

Холлидей [1,2] был, возможно, первым, кто применил нелинейные процедуры анализа повторных измерений к данным двигателя зажигания. В особом внимании работы Холлидея было моделирование данных, взятых из экспериментов по отображению двигателей. В этих экспериментах скорость вращения двигателя, нагрузка и соотношение воздух/топливо поддерживались постоянными, в то время как искра изменялась. Различные характеристики отклика двигателя, например крутящий момент или величины выбросов, измерялись при каждой установке искры. Холлидей смоделировал характеристики отклика для каждого свипа как функции усовершенствования. Изменения в отдельных параметрах свипа затем моделировались как функция от глобальных рабочих переменных двигателя скорость, нагрузка и отношение воздух/топливо. Концептуально, изменения в измерениях, взятых в ходе свипа, представляют внутритрубный компонент отклонения. Точно так же изменение специфичных для сдвига параметров между свипами представляет собой промежуточный компонент отклонения. Можно обобщить эти принципы к другим упражнениям по моделированию установившегося двигателя, где природа набора данных обычно включает в себя развертку одной переменной управления двигателем, в то время как остальная часть удерживается при фиксированных значениях. Эти точки предполагают, что нелинейный повторный анализ измерений представляет собой общий подход к параметризации моделей двигателей среднего значения для ориентированной на системы управления разработки.

Другое применение для моделей этой формы является уравнениями потока для тела дросселя. Если предположить, что уравнения потока основаны на обычном одномерном принципе изентропного потока, то они должны быть изменены термином эффективной площади, _Ae, который учитывает тот факт, что истинный поток многомерен и необратим. Можно сопоставить характеристики потока дросселя путем протаскивания положения дросселя при фиксированной скорости вращения двигателя. Эта методология набора данных, естественно, накладывает иерархию, анализ которой согласуется с применением нелинейных повторных измерений. Опыт моделирования эффективной площади предполагает, что модели свободного сплайна узла или биологического роста обеспечивают хорошие локальные предсказания. Глобальная фаза процедуры моделирования связана с предсказанием систематического изменения функций отклика на скорости вращения двигателя. Модель сплайна свободного узла оказалась полезной для этой цели.

Локальные модели

Реакции моделирования локально в сдвиге как функция только от независимой переменной. То есть,

где индекс i относится к отдельным тестам, и j к данным в тесте, является j^th независимое значение, $${\theta }_i$$ является (rx1) вектором параметра, является j ^th ответ, и является обычно распределенной случайной переменной с нулем среднего и отклонением². Обратите внимание, что уравнение (4-1) может быть либо линейной, либо нелинейной функцией параметров подгонки кривой. Предположение о независимо нормально распределенных ошибках подразумевает, что оценки методом наименьших квадратов $$\theta$$ являются также параметрами максимальной вероятности.

Локальное ковариационное моделирование

Локальная модель описывает как систематическое, так и случайное изменение, связанное с измерениями, принятыми во время i^th тест. Систематическое изменение характеризуется через функцию f, в то время как изменение характеризуется через распределительные допущения, сделанные на векторе случайных ошибок _ei. Следовательно, спецификация модели для распределения _ei завершает описание модели внутриэкспериментальной модели. Основанный на модели продукт Toolbox™ калибровки позволяет получить очень общую спецификацию локальной ковариации:

(2)

то, где _Ci (_ni x _ni) ковариационная матрица, является коэффициентом изменчивости, и ξi - (q-1) вектор параметров дисперсии, которые составляют разнородность отклонения и возможность последовательно коррелированых данных. Спецификация является очень общей и обеспечивает значительную гибкость с точки зрения определения ковариационной модели для адекватного описания случайного компонента самого внутритрубного изменения.

Продукт Model-Based Calibration Toolbox поддерживает следующие ковариационные модели:

где diag {x} является диагональной матрицей.

Корреляционные модели доступны только для равномерных данных в продукте Model-Based Calibration Toolbox. Возможно объединить корреляционные модели с моделями с дисперсионными моделями, такими как степень.

Одной из самых простых структур, которая может использоваться для учета последовательно коррелированных ошибок, является модель AR (m) (авторегрессионная модель с задержкой m). Общая форма модели AR (m) является

(6)

где k^th lag коэффициент и _vj является экзогенным стохастическим входом, идентично и независимо распределенным как. Авторегрессивные модели первого и второго порядка реализованы в продукте Model-Based Calibration Toolbox.

Другой возможностью является модель скользящего среднего значения (MA). Общая структура:

(7)

где k^th lag коэффициент и _vj является экзогенным стохастическим входом, идентично и независимо распределенным как. В продукте Model-Based Calibration Toolbox реализована только модель скользящего среднего значения первого порядка.

Функции отклика

С технической точки зрения параметры подгонки кривых обычно не имеют никакой интуитивной интерпретации. Интересны довольно характерные геометрические функции кривой. Терминология «функций отклика» Краудера и Руки [8] используется для описания этих интересующих геометрических функций. В целом вектор функции отклика p_i для i^th свип является нелинейной функцией (g) соответствующего вектора параметра подгонки кривых $${\theta }_i$$, таким что

(8)

Глобальные модели

Моделирование изменения признаков отклика как функции от глобальных переменных. Функции отклика переносятся на второй этап процедуры моделирования, а не на параметры подгонки кривых, поскольку они имеют инженерную интерпретацию. Это гарантирует, что второй этап процесса моделирования остается относительно интуитивно понятным. Гораздо более вероятно, что инженер будет лучше знать, как функция отклика, такая как MBT, ведет себя в рабочей области значений двигателя (по крайней мере, на основе основных эффектов) в отличие от оценки параметра подгонки эзотерической кривой.

Глобальная связь представлена одной из глобальных моделей, доступных в продукте Model-Based Calibration Toolbox. В этом разделе мы рассматриваем только линейные модели, которые могут быть представлены как

где _Xi содержит информацию об условиях работы двигателя в^th spark sweep, β является вектором глобальных оценок параметров, которые должны быть оценены процедурой аппроксимации, и $${\gamma }_i$$ является вектором нормально распределенных случайных ошибок. Необходимо сделать некоторое предположение о распределении ошибок для $$\gamma$$, и это обычно нормальное распределение с

(10)

где r - количество функций отклика. Размерности D являются (rxr), и, будучи дисперсионно-ковариационной матрицей, D является как симметричным, так и положительно определенным. Условия на начальной диагонали D представляют отклонение «тест-тест», связанную с оценкой отдельных функций отклика. Off-диагональные условия представляют ковариацию между парами функций отклика. Оценка этих дополнительных ковариационных терминов в многомерном анализе улучшает точность оценок параметров.

Двухэтапные модели

Чтобы объединить две модели, сначала необходимо просмотреть распределительные допущения, относящиеся к вектору _pi функции отклика. Отклонение _pi (Var (_pi)) задаётся как

(11)

Для простоты в обозначении²_Ci должен обозначать Var (_pi). Таким образом, _pii распределяется как

(12)

где _Ci зависит от fi через отклонение $${\theta }_i$$ а также на _gi через преобразование $${\theta }_i$$ к характеристикам отклика _pi. При определении _Ci используются два стандартных предположения: асимптотическое приближение для отклонения максимальных оценок правдоподобия и приближение для отклонения функций максимальных оценок правдоподобия, которая основана на разложении _gi ряда Тейлора. В сложение для нелинейных или _{gi Ci} зависит от неизвестного $${\theta }_i$$; поэтому мы будем использовать смету на ее месте. Эти приближения, вероятно, будут хорошими в случае, когда² является маленьким, или число точек на сдвиг (_mi) велико. В любом случае мы предполагаем, что эти приближения действительны во всем.

Теперь вернемся к вопросу оценки параметра. Предположим, что $${\gamma }_i$$ не зависят от. Затем, допуская аддитивную ошибку репликации в функциях отклика, функции отклика распределяются как

(13)

Когда все тесты рассматриваются одновременно, уравнение (6-13) может быть записано в компактном виде

(14)

где P - вектор, образованный сложением n векторов _pi поверх друг друга, Z - матрица, образованная сложением n _Xi матриц, W - блочная диагональная взвешивающая матрица с матрицами на диагонали, являющимися²_Ci + D, и Для многомерного нормального распределения (6-14) может быть записана отрицательная функция журнала правдоподобия:

(15)

Таким образом, максимальными оценками правдоподобия являются векторы _βML и Обычно параметров подгонки намного больше, чем параметров дисперсии; то есть, размерность β намного больше, чем Таким образом, выгодно уменьшить количество параметров, участвующих в минимизации logL (β, Ключ состоит в том, чтобы понять, что уравнение (6-15) является условно линейным относительно β. Следовательно, при заданных оценках,, уравнение (6-15) может быть дифференцировано непосредственно относительно β, и получившееся выражение устанавливается на нуль. Это уравнение может быть решено непосредственно для β следующим образом:

(16)

Ключевой точкой является то, что теперь вероятность зависит только от вектора параметра дисперсии, который, как уже обсуждалось, имеет только скромные размерности. После минимизации вероятности с получением, в таком случае, _в связи с тем, что W (_В) известно, уравнение (6-16) может быть впоследствии использовано для определения _βML.

Выбор глобальной модели

Прежде чем предпринимать минимизацию уравнения 15 (см. Двухэтапные модели), сначала необходимо установить форму X_i матрица. Это эквивалентно установлению глобального выражения для каждого из признаков отклика априори. Одномерная ступенчатая регрессия используется, чтобы выбрать форму глобальной модели для каждой функции отклика. Минимизация соответствующей статистики PRESS используется как принцип построения моделей, как указано в Stepwise в процессе построения моделей. Базовый принцип заключается в том, что, используя одномерные методы для установления возможных моделей, максимальные методы правдоподобия впоследствии используются для оценки их параметров.

Начальные значения для ковариаций

Первоначальная оценка глобальной ковариации получена с использованием стандартной двухэтапной оценки Steimer et al. [10],

(17)

где β - оценки из всех одномерных глобальных моделей. Эта оценка является предвзятой.

Алгоритм Квази-Ньютона

Неявным для минимизации уравнения (6-17) является то, что D положительно определено. Это простое дело, чтобы гарантировать это, отмечая, что D положительно определено тогда и только тогда, когда существует верхняя треугольная матрица, G, скажем, такая, что

(18)

Эта факторизация используется в алгоритме Квази-Ньютона. В первую очередь преимущество этого подхода заключается в том, что полученный поиск в G, в отличие от D, не ограничен.

Алгоритм максимизации ожиданий

Алгоритм максимизации ожиданий является итерационным методом, который сходится к максимальному решению функции правдоподобия. Каждая итерация имеет два шага:

Эти шаги повторяются до тех пор, пока улучшение значения функции журнала правдоподобия не станет меньше допуска. Подробная информация об алгоритме содержится в [3, глава 5].

Ссылки

Линейная регрессия

Построение регрессионной модели, которая включает только подмножество от общего количества доступных терминов, включает компромисс между двумя конфликтующими целями:

Лучшее регрессионное уравнение является тем, которое обеспечивает удовлетворительный компромисс между этими конфликтующими целями, по крайней мере, в сознании аналитика. Хорошо известно, что нет уникального определения лучшего. Различные критерии построения моделей (для примера, прямого выбора, обратного выбора, поиска PRESS, пошагового поиска, Mallows _Cp Statistic...) дают различные модели. В сложение, даже если оптимальное значение построения моделей статистики найдено, нет гарантии, что полученная модель будет оптимальной в любом другом из принятых чувств.

В основном цель построения регрессионной модели для калибровки состоит в прогнозировании будущих наблюдений среднего значения функции отклика. Поэтому цель состоит в том, чтобы выбрать подмножество условий регрессии, так что PRESS минимизируется. Минимизация PRESS согласуется с целью получения регрессионой модели, которая обеспечивает хорошую прогнозирующую способность в экспериментальном факторном пространстве. Этот подход может применяться как к полиному, так и к сплайну моделей. В любом случае процесс построения моделей идентичен.

Определения терминов и статистики тулбокса

Для получения дополнительной информации о PRESS и других отображаемых статистических данных смотрите статистические данные PRESS, Инструкции по выбору наилучшей Подгонки модели и Объединенная статистика.