Настройте линейную программу, основанную на проблеме

Преобразуйте задачу в форму решателя

Этот пример показывает, как преобразовать линейную задачу из математической формы в синтаксис решателя Optimization Toolbox™ с помощью основанного на проблеме подхода.

Переменные и выражения в задаче представляют модель работы химического завода, из примера в Edgar и химмельблау [1]. Два связанных видео описывают проблему.

Математическое моделирование с оптимизацией, Часть 1 представляет задачу в изобразительной форме, показывая, как сгенерировать математические выражения Описания Модели.
Моделирование оптимизации, Часть 2: Основанное на проблеме Решение Математической Модели описывает, как преобразовать эти математические выражения в синтаксис решателя Optimization Toolbox. В этом видео показано, как решить проблему, и как интерпретировать результаты.

Этот пример, который внимательно следит за видео Part 2, фокусируется на преобразовании задачи в синтаксис решателя.

Описание модели

Видео Части 1 предлагает следующий подход для преобразования задачи в математическую форму:

Получите общее представление о проблеме.
Идентифицируйте цель (максимизация или минимизация чего-либо).
Идентифицируйте (назовите) переменные.
Идентифицируйте ограничения.
Определите, какие переменные вы можете управлять.
Задайте все величины в математическом обозначении.
Проверьте модель на полноту и правильность.

Значение переменных в этом разделе смотрите в видео Части 1.

Задача оптимизации состоит в том, чтобы минимизировать целевую функцию, удовлетворяющую всем другим выражениям как ограничениям.

Целевой функцией является:

0.002614 HPS + 0.0239 PP + 0.009825 EP.

Ограничениями являются:

2500 ≤ P1 ≤ 6250
I1 ≤ 192,000
C ≤ 62,000
I1 - HE1 ≤ 132,000
I1 = LE1 + HE1 + C
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
3000 ≤ P2 ≤ 9000
I2 ≤ 244,000
LE2 ≤ 142,000
I2 = LE2 + HE2
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
LPS = LE1 + LE2 + BF2
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
P1 + P2 + PP ≥ 24,550
EP + PP ≥ 12,000
MPS ≥ 271,536
LPS ≥ 100,623
Все переменные положительны.

Первый метод решения: создайте переменную оптимизации для каждых переменных задач

Первый метод решения включает в себя создание переменной оптимизации для каждых переменных задач. Когда вы создаете переменные, включите их границы.

P1 = optimvar('P1','LowerBound',2500,'UpperBound',6250);
P2 = optimvar('P2','LowerBound',3000,'UpperBound',9000);
I1 = optimvar('I1','LowerBound',0,'UpperBound',192000);
I2 = optimvar('I2','LowerBound',0,'UpperBound',244000);
C = optimvar('C','LowerBound',0,'UpperBound',62000);
LE1 = optimvar('LE1','LowerBound',0);
LE2 = optimvar('LE2','LowerBound',0,'UpperBound',142000);
HE1 = optimvar('HE1','LowerBound',0);
HE2 = optimvar('HE2','LowerBound',0);
HPS = optimvar('HPS','LowerBound',0);
MPS = optimvar('MPS','LowerBound',271536);
LPS = optimvar('LPS','LowerBound',100623);
BF1 = optimvar('BF1','LowerBound',0);
BF2 = optimvar('BF2','LowerBound',0);
EP = optimvar('EP','LowerBound',0);
PP = optimvar('PP','LowerBound',0);

Создайте задачу и цель

Создайте контейнер задачи оптимизации. Включите целевую функцию в задачу.

linprob = optimproblem('Objective',0.002614*HPS + 0.0239*PP + 0.009825*EP);

Создание и включение линейных ограничений

Выражения задачи содержат три линейных неравенства:

I1 - HE1 ≤ 132,000
EP + PP ≥ 12,000
P1 + P2 + PP ≥ 24,550 (1)

Создайте эти ограничения неравенства и включите их в задачу.

linprob.Constraints.cons1 = I1 - HE1 <= 132000;
linprob.Constraints.cons2 = EP + PP >= 12000;
linprob.Constraints.cons3 = P1 + P2 + PP >= 24550;

Задача имеет восемь линейных равенств:

I2 = LE2 + HE2
LPS = LE1 + LE2 + BF2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
I1 = LE1 + HE1 + C
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2. (2)

Включите и эти ограничения.

linprob.Constraints.econs1 = LE2 + HE2 == I2;
linprob.Constraints.econs2 = LE1 + LE2 + BF2 == LPS;
linprob.Constraints.econs3 = I1 + I2 + BF1 == HPS;
linprob.Constraints.econs4 = C + MPS + LPS == HPS;
linprob.Constraints.econs5 = LE1 + HE1 + C == I1;
linprob.Constraints.econs6 = HE1 + HE2 + BF1 == BF2 + MPS;
linprob.Constraints.econs7 = 1267.8*HE1 + 1251.4*LE1 + 192*C + 3413*P1 == 1359.8*I1;
linprob.Constraints.econs8 = 1267.8*HE2 + 1251.4*LE2 + 3413*P2 == 1359.8*I2;

Решите задачу

Формулировка задачи завершена. Решите задачу, используя solve.

linsol = solve(linprob);

Optimal solution found.

Исследуйте решение

Оцените целевую функцию. (Вы также можете использовать это значение при первом вызове solve.)

evaluate(linprob.Objective,linsol)

ans =

   1.2703e+03

Самый дешевый метод управления объекта стоит 1207,30 $.

Исследуйте значения переменных решения.

tbl = struct2table(linsol)

tbl =

  1×16 table

    BF1    BF2      C         EP         HE1           HE2           HPS            I1           I2       LE1       LE2           LPS           MPS         P1       P2       PP  
    ___    ___    ______    ______    __________    __________    __________    __________    ________    ___    __________    __________    __________    ____    ______    _____

    0      0      8169.7    760.71    1.2816e+05    1.4338e+05    3.8033e+05    1.3633e+05    2.44e+05    0      1.0062e+05    1.0062e+05    2.7154e+05    6250    7060.7    11239

Эта таблица является слишком широкой, чтобы легко просмотреть ее содержимое. Сложите переменные, чтобы расположить их вертикально.

vars = {'P1','P2','I1','I2','C','LE1','LE2','HE1','HE2',...
'HPS','MPS','LPS','BF1','BF2','EP','PP'};
outputvars = stack(tbl,vars,'NewDataVariableName','Amt','IndexVariableName','Var')

outputvars =

  16×2 table

    Var       Amt    
    ___    __________

    P1          6250
    P2        7060.7
    I1    1.3633e+05
    I2      2.44e+05
    C        8169.7
    LE1             0
    LE2    1.0062e+05
    HE1    1.2816e+05
    HE2    1.4338e+05
    HPS    3.8033e+05
    MPS    2.7154e+05
    LPS    1.0062e+05
    BF1             0
    BF2             0
    EP        760.71
    PP         11239

BF1, BF2, и LE1 являются 0, их нижние границы.
I2 является 244,000, его верхняя граница.
Ненулевые компоненты целевой функции (затраты):
- HPS — 380,328.74
- PP — 11,239.29
- EP — 760.71

Видео части 2 интерпретирует эти характеристики с точки зрения исходной задачи.

Второй метод решения: создайте одну переменную оптимизации и индексы

Также можно решить проблему, используя всего одну переменную оптимизации, которая имеет индексы с именами переменных задачи. Этот метод позволяет вам задать нижнюю границу нуля всеми переменными задачами сразу.

vars = {'P1','P2','I1','I2','C','LE1','LE2','HE1','HE2',...
    'HPS','MPS','LPS','BF1','BF2','EP','PP'};
x = optimvar('x',vars,'LowerBound',0);

Установите границы переменной

Включите ограничения переменных, используя запись через точку.

x('P1').LowerBound = 2500;
x('P2').LowerBound = 3000;
x('MPS').LowerBound = 271536;
x('LPS').LowerBound = 100623;
x('P1').UpperBound = 6250;
x('P2').UpperBound = 9000;
x('I1').UpperBound = 192000;
x('I2').UpperBound = 244000;
x('C').UpperBound = 62000;
x('LE2').UpperBound = 142000;

Создайте задачу, линейные ограничения и решение

Эта оставшаяся часть настройки задачи похожа на настройку с использованием отдельных переменных. Это различие, что вместо адресации переменной по ее имени, такой как P1, вы обращаетесь к нему с помощью его индекса, x('P1').

Создайте объект задачи, включите линейные ограничения и решите задачу.

linprob = optimproblem('Objective',0.002614*x('HPS') + 0.0239*x('PP') + 0.009825*x('EP'));

linprob.Constraints.cons1 = x('I1') - x('HE1') <= 132000;
linprob.Constraints.cons2 = x('EP') + x('PP') >= 12000;
linprob.Constraints.cons3 = x('P1') + x('P2') + x('PP') >= 24550;

linprob.Constraints.econs1 = x('LE2') + x('HE2') == x('I2');
linprob.Constraints.econs2 = x('LE1') + x('LE2') + x('BF2') == x('LPS');
linprob.Constraints.econs3 = x('I1') + x('I2') + x('BF1') == x('HPS');
linprob.Constraints.econs4 = x('C') + x('MPS') + x('LPS') == x('HPS');
linprob.Constraints.econs5 = x('LE1') + x('HE1') + x('C') == x('I1');
linprob.Constraints.econs6 = x('HE1') + x('HE2') + x('BF1') == x('BF2') + x('MPS');
linprob.Constraints.econs7 = 1267.8*x('HE1') + 1251.4*x('LE1') + 192*x('C') + 3413*x('P1') == 1359.8*x('I1');
linprob.Constraints.econs8 = 1267.8*x('HE2') + 1251.4*x('LE2') + 3413*x('P2') == 1359.8*x('I2');

[linsol,fval] = solve(linprob);

Optimal solution found.

Исследуйте индексированное решение

Исследуйте решение как вертикальная таблица.

tbl = table(vars',linsol.x')

tbl =

  16×2 table

    Var1        Var2   
    _____    __________

    'P1'           6250
    'P2'         7060.7
    'I1'     1.3633e+05
    'I2'       2.44e+05
    'C'          8169.7
    'LE1'             0
    'LE2'    1.0062e+05
    'HE1'    1.2816e+05
    'HE2'    1.4338e+05
    'HPS'    3.8033e+05
    'MPS'    2.7154e+05
    'LPS'    1.0062e+05
    'BF1'             0
    'BF2'             0
    'EP'         760.71
    'PP'          11239

Библиография

[1] Эдгар, Томас Ф. и Дэвид М. Химмельблау. Оптимизация химических процессов. Нью-Йорк: McGraw-Hill, 1987.

Документация