Exponenta Banner
exponenta event banner

Настройте линейную программу, основанную на решателе

Преобразуйте задачу в форму решателя

Этот пример показывает, как преобразовать задачу из математической формы в синтаксис решателя Optimization Toolbox™ с помощью основанного на решателе подхода. Пока задачей является линейная программа, методы применяются ко всем решателям.

Переменные и выражения в задаче представляют модель работы химического завода, из примера в Edgar и химмельблау [1]. Есть два видео, которые описывают проблему.

Оставшаяся часть этого примера касается исключительно преобразования задачи в синтаксис решателя. Пример внимательно следит за видео Optimization Modeling, Part 2: Converting to Solver Form. Основным различием видео от примера является то, что в этом примере показано, как использовать именованные переменные или индексные переменные, которые аналогичны хеш-ключам. Это различие заключается в объединении переменных в один вектор.

Описание модели

Видео Математическое Моделирование с Оптимизацией, Часть 1 предполагает, что один из способов преобразовать задачу в математическую форму - это:

  1. Получите общее представление о проблеме

  2. Идентифицируйте цель (максимизация или минимизация чего-либо)

  3. Идентифицируйте (назовите) переменные

  4. Идентифицируйте ограничения

  5. Определите, какие переменные вы можете управлять

  6. Задайте все величины в математическом обозначении

  7. Проверьте модель на полноту и правильность

Значение переменных в этом разделе смотрите в видео Математическое моделирование с Оптимизацией, Часть 1.

Задача оптимизации состоит в том, чтобы минимизировать целевую функцию, удовлетворяющую всем другим выражениям как ограничениям.

Целевой функцией является:

0.002614 HPS + 0.0239 PP + 0.009825 EP.

Ограничениями являются:

2500 ≤ P1 ≤ 6250
I1 ≤ 192,000
C ≤ 62,000
I1 - HE1 ≤ 132,000
I1 = LE1 + HE1 + C
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
3000 ≤ P2 ≤ 9000
I2 ≤ 244,000
LE2 ≤ 142,000
I2 = LE2 + HE2
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
LPS = LE1 + LE2 + BF2
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
P1 + P2 + PP ≥ 24,550
EP + PP ≥ 12,000
MPS ≥ 271,536
LPS ≥ 100,623
Все переменные положительны.

Метод решения

Чтобы решить задачу оптимизации, выполните следующие шаги.

Шаги также показаны в видео Optimization Modeling, Part 2: Converting to Solver Form.

Выбор решателя

Чтобы найти подходящий решатель для этой задачи, смотрите Таблицу решений оптимизации. Таблица просит вас классифицировать задачу по типам целевой функции и типам ограничений. Для этой задачи целевая функция является линейной, и ограничения являются линейными. Таблица решений рекомендует использовать linprog решатель.

Как вы видите в Задачах, Обрабатываемых Функциями Optimization Toolbox или linprog страница с описанием функции, linprog решатель решает задачи вида

minxfTx таким , что {A⋅x≤b,Aeq⋅x=beq,lb≤x≤ub.(1)

  • fTx означает вектор-строку констант f умножения вектора-столбца переменных x. Другими словами,

    fTx = <reservedrangesplaceholder7> (1) x (1) + f (2) x (2) +... + f (<reservedrangesplaceholder2>) x (<reservedrangesplaceholder0>),

    где n - длина f.

  • A x ≤ b представляет линейные неравенства. A является k -by - n матрицей, где k - количество неравенств, а n - количество переменных (размер x). b является вектором длины k. Для получения дополнительной информации см. «Ограничения линейного неравенства».

  • Aeq x = beq представляет линейные равенства. Aeq является m -by - n матрицей, где m - количество равенств, а n - количество переменных (размер x). beq является вектором длины m. Для получения дополнительной информации см. Раздел «Линейные Ограничения равенства».

  • <reservedrangesplaceholder5> ≤ <reservedrangesplaceholder4> ≤ <reservedrangesplaceholder3> означает, что каждый элемент в векторе x должен быть больше, чем соответствующий элемент lb и должен быть меньшим, чем соответствующий элемент ub. Для получения дополнительной информации см. Раздел «Связанные ограничения».

Синтаксис файла linprog решатель, как показано на его странице с описанием функции,

[x fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub);

Входы linprog решатель являются матрицами и векторами в Уравнении 1.

Объедините переменные в один вектор

В уравнениях описания модели 16 переменных. Поместите эти переменные в один вектор. Имя вектора переменных x в Уравнении 1. Определитесь с порядком и создайте компоненты x из переменных.

Следующий код создает вектор, используя массив ячеек с именами для переменных.

variables = {'I1','I2','HE1','HE2','LE1','LE2','C','BF1',...
    'BF2','HPS','MPS','LPS','P1','P2','PP','EP'};
N = length(variables); 
% create variables for indexing 
for v = 1:N 
   eval([variables{v},' = ', num2str(v),';']); 
end

Выполнение этих команд создает следующие именованные переменные в вашей рабочей области:

Эти именованные переменные представляют номера индексов для компонентов x. Вы не должны создавать именованные переменные. Видео Optimization Modeling, Part 2: Converting to Solver Form показывает, как решить задачу просто используя индексные числа компонентов x.

Запись связанных ограничений

Существует четыре переменные с нижними границами и шесть с верхними границами в уравнениях описания модели. Нижние границы:

P1 ≥ 2500
P2 ≥ 3000
MPS ≥ 271,536
LPS ≥ 100,623.

Кроме того, все переменные положительны, что означает, что у них есть нижняя граница в нуле.

Создайте нижний связанный вектор lb как вектор 0, затем добавьте четыре другие нижние границы.

lb = zeros(size(variables));
lb([P1,P2,MPS,LPS]) = ...
    [2500,3000,271536,100623];

Переменные с верхними границами:

P1 ≤ 6250
P2 ≤ 9000
I1 ≤ 192,000
I2 ≤ 244,000
C ≤ 62,000
LE2 ≤ 142000.

Создайте верхний связанный вектор как вектор Inf, затем добавьте шесть верхних границ.

ub = Inf(size(variables));
ub([P1,P2,I1,I2,C,LE2]) = ...
   [6250,9000,192000,244000,62000,142000];

Запись линейных ограничений неравенства

Существует три линейных неравенства в уравнениях описания модели:

I1 - HE1 ≤ 132,000
EP + PP ≥ 12,000
P1 + P2 + PP ≥ 24,550.

Чтобы иметь уравнения в виде A x ≤ b, поместите все переменные на левую сторону неравенства. Все эти уравнения уже имеют такую форму. Убедитесь, что каждое неравенство находится в форме «меньше» путем умножения на -1, где это уместно:

I1 - HE1 ≤ 132,000
-EP - PP ≤ -12,000
-P1 - P2 - PP ≤ -24,550.

В вашем MATLAB® рабочая область, создайте A матрица как матрица нуля 3 на 16, соответствующая 3 линейным неравенствам в 16 переменных. Создайте b вектор с тремя компонентами.

A = zeros(3,16);
A(1,I1) = 1; A(1,HE1) = -1; b(1) = 132000;
A(2,EP) = -1; A(2,PP) = -1; b(2) = -12000;
A(3,[P1,P2,PP]) = [-1,-1,-1];
b(3) = -24550;

Запись линейных ограничений равенства

В уравнениях описания модели восемь линейных уравнений:

I2 = LE2 + HE2
LPS = LE1 + LE2 + BF2
HPS = I1 + I2 + BF1
HPS = C + MPS + LPS
I1 = LE1 + HE1 + C
MPS = HE1 + HE2 + BF1 - BF2
1359.8 I1 = 1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1
1359.8 I2 = 1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2.

В порядок, чтобы иметь уравнения в виде Aeq x = beq, поместите все переменные на одну сторону уравнения. Уравнения становятся:

LE2 + HE2 - I2 = 0
LE1 + LE2 + BF2 - LPS = 0
I1 + I2 + BF1 - HPS = 0
C + MPS + LPS - HPS = 0
LE1 + HE1 + C - I1 = 0
HE1 + HE2 + BF1 - BF2 - MPS = 0
1267.8 HE1 + 1251.4 LE1 + 192 C + 3413 P1 - 1359.8 I1 = 0
1267.8 HE2 + 1251.4 LE2 + 3413 P2 - 1359.8 I2 = 0.

Теперь напишите Aeq матрица и beq вектор, соответствующий этим уравнениям. В рабочем пространстве MATLAB создайте Aeq матрица как нулевая матрица 8 на 16, соответствующая 8 линейным уравнениям в 16 переменных. Создайте beq вектор с восемью компонентами, все с нулем.

Aeq = zeros(8,16); beq = zeros(8,1);
Aeq(1,[LE2,HE2,I2]) = [1,1,-1];
Aeq(2,[LE1,LE2,BF2,LPS]) = [1,1,1,-1];
Aeq(3,[I1,I2,BF1,HPS]) = [1,1,1,-1];
Aeq(4,[C,MPS,LPS,HPS]) = [1,1,1,-1];
Aeq(5,[LE1,HE1,C,I1]) = [1,1,1,-1];
Aeq(6,[HE1,HE2,BF1,BF2,MPS]) = [1,1,1,-1,-1];
Aeq(7,[HE1,LE1,C,P1,I1]) = [1267.8,1251.4,192,3413,-1359.8];
Aeq(8,[HE2,LE2,P2,I2]) = [1267.8,1251.4,3413,-1359.8];

Написание цели

Целевая функция является

fTx = 0.002614 HPS + 0.0239 PP + 0.009825 EP.

Запишите это выражение как вектор f умножителей вектора x:

f = zeros(size(variables));
f([HPS PP EP]) = [0.002614 0.0239 0.009825];

Решите проблему с linprog

Теперь у вас есть входы, необходимые для linprog решатель. Вызовите решатель и распечатайте выходы в форматированной форме:

options = optimoptions('linprog','Algorithm','dual-simplex');
[x fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,options);
for d = 1:N
  fprintf('%12.2f \t%s\n',x(d),variables{d}) 
end
fval

Результат:

Optimal solution found.
   136328.74 	I1
   244000.00 	I2
   128159.00 	HE1
   143377.00 	HE2
        0.00 	LE1
   100623.00 	LE2
     8169.74 	C
        0.00 	BF1
        0.00 	BF2
   380328.74 	HPS
   271536.00 	MPS
   100623.00 	LPS
     6250.00 	P1
     7060.71 	P2
    11239.29 	PP
      760.71 	EP

fval =
  1.2703e+03

Исследуйте решение

The fval выход дает наименьшее значение целевой функции в любой допустимой точке.

Вектор решения x - точка, где целевая функция имеет наименьшее значение. Заметьте, что:

  • BF1, BF2, и LE1 являются 0, их нижние границы.

  • I2 является 244,000, его верхняя граница.

  • Ненулевые компоненты f вектор имеют

    • HPS — 380,328.74

    • PP — 11,239.29

    • EP — 760.71

Видео Optimization Modeling, Part 2: Converting to Solver Form дает интерпретации этих характеристик с точки зрения исходной задачи.

Библиография

[1] Эдгар, Томас Ф. и Дэвид М. Химмельблау. Оптимизация химических процессов. МакГро-Хилл, Нью-Йорк, 1988.

Похожие темы

Документация по Optimization Toolbox

Поддержка