Сгенерируйте и постройте график передней панели Парето

В этом примере показано, как сгенерировать и построить график фронта Парето для 2-D мультиобъективной функции с помощью fgoalattain.

Двумя целевыми функциями в этом примере являются сдвинутые и масштабированные версии выпуклой функции $$\sqrt{1+x^2}$$. Код для целевых функций появляется в simple_mult вспомогательная функция в конце этого примера.

Обе целевые функции уменьшаются в области $$x\le 0$$ и увеличение в области $$x\ge 1$$. В диапазоне от 0 до 1, $$f_1(x)$$ увеличивает и $$f_2(x)$$ уменьшается, поэтому существует область компромисса. Постройте график двух целевых функций для $$x$$ в диапазоне от $$-1/2$$ кому $$3/2$$.

t = linspace(-1/2,3/2);
F = simple_mult(t);
plot(t,F,'LineWidth',2)
hold on
plot([0,0],[0,8],'g--');
plot([1,1],[0,8],'g--');
plot([0,1],[1,6],'k.','MarkerSize',15);
text(-0.25,1.5,'Minimum(f_1(x))')
text(.75,5.5,'Minimum(f_2(x))')
hold off
legend('f_1(x)','f_2(x)')
xlabel({'x';'Tradeoff region between the green lines'})

Чтобы найти фронт Парето, сначала найдите минимумы без ограничений из двух целевых функций. В этом случае на графике можно увидеть, что минимум $$f_1(x)$$ равен 1, и минимум $$f_2(x)$$ является 6, но в целом вам может потребоваться использовать стандартную программу оптимизации, чтобы найти минимумы.

В целом, запишите функцию, которая возвращает конкретный компонент мультиобъективной функции. (The pickindex helper функция в конце этого примера возвращает $$k$$пятое значение целевой функции.) Затем найдите минимум каждого компонента, используя решатель оптимизации. Можно использовать fminbnd в данном случае, или fminunc для задач более высокой размерности.

k = 1;
[min1,minfn1] = fminbnd(@(x)pickindex(x,k),-1,2);
k = 2;
[min2,minfn2] = fminbnd(@(x)pickindex(x,k),-1,2);

Установите цели, которые являются без ограничений оптимумом для каждой целевой функции. Одновременно достичь этих целей можно только в том случае, если целевые функции не мешают друг другу, что означает отсутствие компромисса.

goal = [minfn1,minfn2];

Чтобы вычислить фронт Парето, возьмите векторы веса $$[a,1–a]$$ для $$a$$ от 0 до 1. Решите задачу достижения цели, установив веса на различные значения.

nf = 2; % Number of objective functions
N = 50; % Number of points for plotting
onen = 1/N;
x = zeros(N+1,1);
f = zeros(N+1,nf);
fun = @simple_mult;
x0 = 0.5;
options = optimoptions('fgoalattain','Display','off');
for r = 0:N
t = onen*r; % 0 through 1
weight = [t,1-t];
[x(r+1,:),f(r+1,:)] = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,...
[],[],[],[],[],[],[],options);
end
figure
plot(f(:,1),f(:,2),'ko');
xlabel('f_1')
ylabel('f_2')

Вы можете увидеть компромисс между двумя целевыми функциями.

function f = simple_mult(x)
f(:,1) = sqrt(1+x.^2);
f(:,2) = 4 + 2*sqrt(1+(x-1).^2);
end

function z = pickindex(x,k)
z = simple_mult(x); % evaluate both objectives
z = z(k); % return objective k
end

См. также

fgoalattain

Похожие темы

• Многоцелевая оптимизация достижения цели