Нелинейные ограничения с градиентами

Этот пример показывает, как решить нелинейную задачу с нелинейными ограничениями с помощью информации о производной.

Обычно в стандартных программах минимизации используются числовые градиенты, вычисленные конечноразностным приближением. Эта процедура систематически возмущает каждую переменную в порядок, чтобы вычислить производные функции и ограничения. Также можно задать функцию для аналитического вычисления частных производных. Как правило, когда вы предоставляете информацию о производной, решатели работают более точно и эффективно.

Целевая функция и нелинейное ограничение

Задача в том, чтобы решить

$\min_{x} f (x) = e^{x_{1}} (4 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} + 1),$

удовлетворяющее ограничениям

$\begin{array}{l} x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} \leq - 1.5 \\ x_{1} x_{2} \geq - 10 . \end{array}$

Потому что fmincon решатель ожидает, что ограничения будут записаны в форму $c (x) \leq 0$ , напишите свою функцию ограничения, чтобы вернуть следующее значение:

$c (x) = [\begin{array}{c} x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} + 1.5 \\ - 10 - x_{1} x_{2} \end{array}]$ .

Целевая функция с градиентом

Целевая функция является

$f (x) = e^{x_{1}} (4 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} + 1)$ .

Вычислите градиент $f (x)$ относительно переменных $x_{1}$ и $x_{2}$ .

$\nabla f (x) = [\begin{array}{c} f (x) + \exp (x_{1}) (8 x_{1} + 4 x_{2}) \\ \exp (x_{1}) (4 x_{1} + 4 x_{2} + 2) \end{array}]$ .

The objfungrad вспомогательная функция в конце этого примера возвращает обе целевые функции $f (x)$ и его градиент во втором выходном gradf. Задайте @objfungrad как цель.

fun = @objfungrad;

Функция ограничения с градиентом

Функция помощника confungrad - нелинейная функция ограничения; он появляется в конце этого примера.

Информация о производной для ограничения неравенства имеет каждый столбец, соответствующий одному ограничению. Другими словами, градиент ограничений имеет следующий формат:

$[\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{\partial c_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial c_{2}}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial c_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial c_{2}}{\partial x_{2}} \end{array}] = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x_{2} - 1 & - x_{2} \\ x_{1} - 1 & - x_{1} \end{array}] .$

Задайте @confungrad как нелинейная функция ограничения.

nonlcon = @confungrad;

Установите опции, чтобы использовать информацию о производной

Указание на fmincon решатель, что функции цели и ограничения обеспечивают информацию производной. Для этого используйте optimoptions для установки SpecifyObjectiveGradient и SpecifyConstraintGradient значения опций в true.

options = optimoptions('fmincon',...
    'SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true);

Решите задачу

Установите начальную точку равной [-1,1].

x0 = [-1,1];

Задача не имеет границ или линейных ограничений, поэтому установите эти значения аргументов равными [].

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];

Функции fmincon чтобы решить проблему.

[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

   -9.5473    1.0474

fval = 0.0236

Решение такое же, как в примере Нелинейные Ограничения Неравенства, который решает задачу, не используя производную информацию. Преимущество использования производных в том, что решение задачи принимает меньше вычислений функции, получая при этом робастность, хотя это преимущество не очевидно в этом примере. Использование еще большей производной информации, как в fmincon Interior-Point Algorithm with Analytic Hessian, дает еще больше преимуществ, таких как меньше итераций решателя.

Вспомогательные функции

Этот код создает objfungrad вспомогательная функция.

function [f,gradf] = objfungrad(x)
f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
% Gradient of the objective function:
if nargout  > 1
    gradf = [ f + exp(x(1)) * (8*x(1) + 4*x(2)), 
    exp(x(1))*(4*x(1)+4*x(2)+2)];
end
end

Этот код создает confungrad вспомогательная функция.

function [c,ceq,DC,DCeq] = confungrad(x)
c(1) = 1.5 + x(1) * x(2) - x(1) - x(2); % Inequality constraints
c(2) = -x(1) * x(2)-10; 
% No nonlinear equality constraints
ceq=[];
% Gradient of the constraints:
if nargout > 2
    DC= [x(2)-1, -x(2);
        x(1)-1, -x(1)];
    DCeq = [];
end
end

Документация