Линейные уравнения упругости

Сводные данные уравнений линейной упругости

Матрица жесткости линейного упругого изотропного материала содержит два параметра:

E, модуль Янга (упругий модуль)
ν, коэффициент Пуассона

Задайте следующие величины.

$\begin{array}{l} σ = напряжение \\ f = сила тела \\ ε = напряжение \\ u = смещение \end{array}$

Уравнение равновесия

$- \nabla \cdot σ = f$

Линеаризированное, деформационно-перемещательное соотношение малого объема

$ε = \frac{1}{2} (\nabla u + \nabla u^{T})$

Баланс углового импульса утверждает, что напряжение симметрично:

$σ_{i j} = σ_{j i}$

Обозначение Войгта для конститутивного уравнения линейной изотропной модели является

$[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ σ_{12} \end{matrix}] = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & ν & ν & 0 & 0 & 0 \\ ν & 1 - ν & ν & 0 & 0 & 0 \\ ν & ν & 1 - ν & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 - 2 ν & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - 2 ν & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 - 2 ν \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ ε_{33} \\ ε_{23} \\ ε_{13} \\ ε_{12} \end{matrix}]$

Расширенная форма использует все записи в σ и ε учитывает симметрию.

[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{12} \\ σ_{13} \\ σ_{21} \\ σ_{22} \\ σ_{23} \\ σ_{31} \\ σ_{32} \\ σ_{33} \end{matrix}] = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & 0 & 0 & 0 & ν & 0 & 0 & 0 & ν \\ • & 1 - 2 ν & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ • & • & 1 - 2 ν & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ • & • & • & 1 - 2 ν & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ • & • & • & • & 1 - ν & 0 & 0 & 0 & ν \\ • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 0 & 0 & 0 \\ • & • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 0 & 0 \\ • & • & • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 0 \\ • & • & • & • & • & • & • & • & 1 - ν \end{matrix}] [\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{12} \\ ε_{13} \\ ε_{21} \\ ε_{22} \\ ε_{23} \\ ε_{31} \\ ε_{32} \\ ε_{33} \end{matrix}]

(1)

В предыдущей схеме • означает, что запись симметричная.

3D линейной упругости

Форма тулбокса для уравнения:

$- \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) = f$

Но уравнения в сводные данные не имеют ∇ u в одиночку, оно появляется вместе с его транспонированием:

$ε = \frac{1}{2} (\nabla u + \nabla u^{T})$

Это простое упражнение, чтобы преобразовать это уравнение для ε деформации в ∇ u. В вектор-столбец форме,

$\nabla u = [\begin{matrix} \partial u_{x} / \partial x \\ \partial u_{x} / \partial y \\ \partial u_{x} / \partial z \\ \partial u_{y} / \partial x \\ \partial u_{y} / \partial y \\ \partial u_{y} / \partial z \\ \partial u_{z} / \partial x \\ \partial u_{z} / \partial y \\ \partial u_{z} / \partial z \end{matrix}]$

Поэтому можно записать уравнение деформации-перемещение как

$ε = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \nabla u \equiv A \nabla u$

где A обозначает отображаемую матрицу. Поэтому, переписывая Уравнение 1 и напоминая, что • означает, что запись симметрична, можно записать тензор жесткости как

$\begin{matrix} σ = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & 0 & 0 & 0 & ν & 0 & 0 & 0 & ν \\ • & 1 - 2 ν & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ • & • & 1 - 2 ν & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ • & • & • & 1 - 2 ν & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ • & • & • & • & 1 - ν & 0 & 0 & 0 & ν \\ • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 0 & 0 & 0 \\ • & • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 0 & 0 \\ • & • & • & • & • & • & • & 1 - 2 ν & 0 \\ • & • & • & • & • & • & • & • & 1 - ν \end{matrix}] A \nabla u \\ = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} [\begin{matrix} 1 - ν & 0 & 0 & 0 & ν & 0 & 0 & 0 & ν \\ 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 0 & 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 0 \\ 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ ν & 0 & 0 & 0 & 1 - ν & 0 & 0 & 0 & ν \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 1 / 2 - ν & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 0 & 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 / 2 - ν & 0 & 1 / 2 - ν & 0 \\ ν & 0 & 0 & 0 & ν & 0 & 0 & 0 & 1 - ν \end{matrix}] \nabla u \end{matrix}$

Сделайте определения

$\begin{array}{l} μ = \frac{E}{2 (1 + ν)} \\ λ = \frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} \\ \frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} = 2 μ + λ \end{array}$

и уравнение становится

$σ = [\begin{matrix} 2 μ + λ & 0 & 0 & 0 & λ & 0 & 0 & 0 & λ \\ 0 & μ & 0 & μ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & μ & 0 & 0 & 0 & μ & 0 & 0 \\ 0 & μ & 0 & μ & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ λ & 0 & 0 & 0 & 2 μ + λ & 0 & 0 & 0 & λ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & μ & 0 & μ & 0 \\ 0 & 0 & μ & 0 & 0 & 0 & μ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & μ & 0 & μ & 0 \\ λ & 0 & 0 & 0 & λ & 0 & 0 & 0 & 2 μ + λ \end{matrix}] \nabla u \equiv c \nabla u$

Если вы решаете 3-D линейную задачу упругости при помощи PDEModel вместо StructuralModel, используйте elasticityC3D(E,nu) функция (включенная в ваше программное обеспечение) для получения c коэффициент. Эта функция использует линеаризованное предположение о малом перемещении для изотропного материала. Для примеров, которые используют эту функцию, смотрите StationaryResults.

Плоское напряжение

Плоское напряжение является условием, которое преобладает в плоской пластине в x - y плоскости, нагруженной только в своей плоскости и без z -направления. Для плоского напряжения σ 13 ₌ σ 23 = σ ₃₁ = σ ₃₂ = σ 33 = 0. Принимая изотропные условия, закон Гука для плоского напряжения дает следующее соотношение напряжения и напряжения:

$[\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ 2 ε_{12} \end{matrix}] = \frac{1}{E} [\begin{matrix} 1 & - ν & 0 \\ - ν & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 + 2 ν \end{matrix}] [\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \end{matrix}]$

Инвертируя это уравнение, получите отношение напряжение-деформация:

$(\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \end{matrix}) = \frac{E}{1 - ν^{2}} (\begin{matrix} 1 & ν & 0 \\ ν & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - ν}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ 2 ε_{12} \end{matrix})$

Преобразуйте уравнение для ε деформации в ∇ u.

$ε = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \nabla u \equiv A \nabla u$

Теперь можно переписать матрицу жесткости как

$[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{12} \\ σ_{21} \\ σ_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E}{1 - ν^{2}} & 0 & 0 & \frac{E ν}{1 - ν^{2}} \\ 0 & \frac{E}{2 (1 + ν)} & \frac{E}{2 (1 + ν)} & 0 \\ 0 & \frac{E}{2 (1 + ν)} & \frac{E}{2 (1 + ν)} & 0 \\ \frac{E ν}{1 - ν^{2}} & 0 & 0 & \frac{E}{1 - ν^{2}} \end{matrix}] \nabla u = [\begin{matrix} \frac{2 μ (μ + λ)}{2 μ + λ} & 0 & 0 & \frac{2 λ μ}{2 μ + λ} \\ 0 & μ & μ & 0 \\ 0 & μ & μ & 0 \\ \frac{2 λ μ}{2 μ + λ} & 0 & 0 & \frac{2 μ (μ + λ)}{2 μ + λ} \end{matrix}] \nabla u$

Плоская деформация

Плоская деформация является деформационным состоянием, где нет перемещений в z -направлении, и перемещения в x - и y - направлениях являются функциями x и y, но не z. Отношение напряжение-деформация лишь немного отличается от случая плоского напряжения, и используется тот же набор параметров материала.

Для плоской деформации ε ₁₃ = _ε 23 = _ε 31 ₌ ε 32 ₌ ε 33 = 0. Принимая изотропные условия, отношение напряжение-деформация может быть записано следующим образом:

$(\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \end{matrix}) = \frac{E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} (\begin{matrix} 1 - ν & ν & 0 \\ ν & 1 - ν & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - 2 ν}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} ε_{11} \\ ε_{22} \\ 2 ε_{12} \end{matrix})$

Преобразуйте уравнение для ε деформации в ∇ u.

$ε = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \nabla u \equiv A \nabla u$

Теперь можно переписать матрицу жесткости как

$[\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{12} \\ σ_{21} \\ σ_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} & 0 & 0 & \frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} \\ 0 & \frac{E}{2 (1 + ν)} & \frac{E}{2 (1 + ν)} & 0 \\ 0 & \frac{E}{2 (1 + ν)} & \frac{E}{2 (1 + ν)} & 0 \\ \frac{E ν}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} & 0 & 0 & \frac{E (1 - ν)}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} \end{matrix}] \nabla u = [\begin{matrix} 2 μ + λ & 0 & 0 & λ \\ 0 & μ & μ & 0 \\ 0 & μ & μ & 0 \\ λ & 0 & 0 & 2 μ + λ \end{matrix}] \nabla u$

Документация