Partial Differential Equation Toolbox™ обеспечивает refinemesh функция для глобального, равномерного уточнения сетки для 2-D геометрий. Он разделяет каждый треугольник на четыре одинаковых треугольника, создавая новые углы на средних сторонах, настраивая для изогнутых контуров. Можно оценить точность численного решения путем сравнения результатов из последовательности последовательно уточненных сеток. Если решение достаточно гладкое, более точные результаты могут быть получены экстраполяцией.

Решения уравнений часто имеют геометрические функции, такие как локализованные сильные градиенты. Примером инженерной важности в эластичности является концентрация напряжения, происходящая в повторяющихся углах, таких как L-образная мембрана MATLAB. В таких случаях более эффективным является избирательное уточнение mesh. Выбор, который основан на оценках ошибок в вычисленных решениях, называется адаптивным уточнением сетки.

Адаптивное уточнение генерирует последовательность решений на последовательно более мелких сетках, на каждом этапе выбирая и уточняя те элементы, которые, как считается, вносят наибольший вклад в ошибку. Остановки процесса 34, когда максимальное количество элементов превышено, когда каждый треугольник вносит меньше, чем заданный допуск, или когда достигается предел итерации. Можно предоставить начальный mesh разрешить adaptmesh звонить initmesh автоматически. Вы также выбираете параметры критериев выбора и прекращения. Три компонента алгоритма являются функцией индикации ошибки (вычисляет оценку вклада ошибки элемента), mesh refiner (выбирает и подразделяет элементы) и критериями завершения.

Адаптация является процессом обратной связи. Он легко применяется к большей области значений задач, чем те, для которых был адаптирован его проект. Оценки, критерии выбора и так далее должны быть оптимальными для предоставления наиболее точного решения при фиксированных затратах или самых низких вычислительных усилиях для заданной точности. Такие результаты были доказаны только для задач модели, но в целом эвристика равнораспределения была найдена почти оптимальной. Размеры элемента должны быть выбраны так, чтобы каждый элемент вносил одинаковый вклад в ошибку. Теория адаптивных схем использует априорные границы для решений в терминах f исходной функции. Для неэллиптических задач такие ограничения могут не существовать, в то время как схема уточнения все еще четко задана и работает.

Функция индикатора ошибки, используемая в программном обеспечении, является элементарной оценкой вклада, основанной на [1] и [2]. Для уравнения-Δ <reservedrangesplaceholder3> Пуассона   = f на Ω, следующая _оценка ошибки для FEM-решения uh держится в L 2-норме$$\Vert \cdot \Vert$$:

где h = h (x) - локальный размер сетки, и

Окруженное количество - переход в нормальной производной v через ребро τ, <reservedrangesplaceholder8> <reservedrangesplaceholder7> длина ребра τ, и сумма переезжает Ei, набор всех внутренних ребер триангуляции. Коэффициенты α и β не зависят от триангуляции. Эта граница превращается в элементарную функцию индикатора ошибки E (K) для K элемента путем суммирования вкладов с его ребер.

Общая форма функции индикатора ошибки для эллиптического уравнения

является

где $$n_{\tau }$$ - модуль нормаль ребра τ и термин с скобками является переходом потока через ребро элемента. Норма L 2 вычисляется по K элемента. pdejmps функция вычисляет этот индикатор ошибки.

Уточнение mesh Partial Differential Equation Toolbox ориентировано на эллиптические задачи. Для обеспечения точности и плохих условий такие проблемы требуют, чтобы элементы не слишком сильно отклонялись от равновесия. Таким образом, даже при по существу одномерных функциях решения, таких как граничные слои, метод уточнения должен гарантировать треугольники разумной формы.

Когда элемент доработан, новые узлы появляются на его средних сторонах, и если соседний треугольник не уточнен подобным образом, это, как говорят, имеет висячие узлы. Окончательная триангуляция должна не иметь висящих узлов, и они удаляются путем разделения соседних треугольников. Чтобы избежать дальнейшего ухудшения качества треугольника в последующих поколениях, схема «самого длинного ребра бисекции» используется в [3], в котором самая длинная сторона треугольника всегда разделена, всякий раз, когда любая из сторон имеет висячие узлы. Это гарантирует, что ни один угол никогда не будет меньше половины наименьшего угла исходной триангуляции.

Существует два критерия выбора. Один, pdeadworst, уточняет все элементы со значением индикатора ошибки, больше половины худшего из любого элемента. Другой, pdeadgsc, уточняет все элементы со значением индикатора, превышающим заданный безразмерный допуск. Сравнение с допуском правильно масштабируется относительно области, размера решения и так далее.

Для гладких решений равнораспределение ошибок может быть достигнуто pdeadgsc выбор, если максимальное количество элементов достаточно велико. pdeadworst адаптация прекращается только тогда, когда превышено максимальное количество элементов или достигнут предел итерации. Этот режим является естественным, когда решение показывает особенности. Индикатор ошибки элементов рядом с особенностью может никогда не исчезнуть, независимо от размера элемента, делая равнораспределение невозможным.