Матрицы поворота используются, чтобы повернуть вектор в новое направление.

В преобразовании векторов в 3-мерном пространстве часто встречаются матрицы поворота. Матрицы вращения используются в двух измерениях: они могут использоваться для поворота вектора в новое положение или могут использоваться для поворота координатного базиса (или системы координат) в новое положение. В этом случае вектор остается один, но его компоненты в новом базисе будут отличаться от компонентов в исходном базисе. В евклидовом пространстве существует три основных вращения: по одному вокруг осей x, y и z. Каждое вращение задается углом поворота. Угол поворота задан как положительный для поворота, который против часовой стрелки, если смотреть наблюдателем, смотрящим вдоль оси поворота к источнику. Любое произвольное вращение может быть составлено из комбинации этих трех (теорема Эйлера о вращении). Для примера можно повернуть вектор в любом направлении с помощью последовательности из трех поворотов: $$v^{\prime }=Av=R_z(\gamma )R_y(\beta )R_x(\alpha )v$$.

Матрицы вращения, которые вращают вектор вокруг x, y и z-осей, заданы:

Следующие три рисунка показывают, как выглядят положительные повороты для каждой оси вращения:

Для любого вращения существует обратное вращение, удовлетворяющее $$A^{-1}A=1$$. Для примера обратная матрица поворота оси X получается путем изменения знака угла:

Этот пример иллюстрирует основное свойство: матрица обратного поворота является транспонированием оригинала. Матрицы вращения удовлетворяют A’A = 1 и, следовательно, det(A) = 1. При поворотах сохраняются длины векторов, а также углы между векторами.

Мы можем думать о вращениях по-другому. Рассмотрим исходный набор базисных векторов, $$i,j,k$$, и поверните их все, используя A матрицы поворота. Это создает новый набор базисных векторов $$i^{\prime },j{,}^{\prime }{k}^{\prime }$$ связанных с оригиналом по:

Используя транспонирование, можно записать новые базисные векторы как линейные комбинации старых базисных векторов:

Теперь любой вектор может быть записан как линейная комбинация любого набора базисных векторов:

Используя алгебраическую манипуляцию, можно вывести преобразование компонентов для фиксированного вектора при повороте базиса (или системы координат). Это преобразование использует транспонирование матрицы вращения.

Следующий рисунок иллюстрирует преобразование вектора при повороте системы координат вокруг оси X. Рисунок после показывает, как это преобразование может быть интерпретировано как вращение вектора в противоположном направлении.