Приложения LMI

Нахождение решения x для системы LMI

A (<reservedrangesplaceholder0>) <0

(1)

называется feasibility problem. Минимизация выпуклой цели под ограничениями LMI также является выпуклой задачей. В частности, линейная задача минимизации цели:

Минимизируйте c^Tx удовлетворяет

A (<reservedrangesplaceholder0>) <0

(2)

играет важную роль в проекте на основе LMI. Наконец, обобщенная задача минимизации собственных значений

Минимизируйте λ, удовлетворяющие

\begin{array}{l} A (x) < λ B (x) \\ B (x) > 0 \\ C (x) > 0 \end{array}

(3)

является квази-выпуклым и может быть решен аналогичными методами. Своим именем она обязана тому, что связана с самым большим обобщённым собственным значением карандаша (A (x), B (x)).

Многие проблемы управления и проекта спецификации имеют LMI-составы [9]. Это особенно актуально для анализа и проекта на основе Ляпунова, но также и для оптимального управления LQG, H^∞ контроль, ковариационный контроль и т.д. Дальнейшие применения LMI возникают в оценке, идентификации, оптимальном проекте, структурном проектировании [6], [7], задачах матричного масштабирования и так далее. Основной силой составов LMI является способность сочетать различные проекты ограничения или цели численно отслеживаемым образом.

Неисчерпывающий список проблем, решаемых методами LMI, включает следующее:

Устойчивая стабильность систем с неопределенностью LTI (u-анализ) ([24], [21], [27])
Устойчивая устойчивость перед лицом ограниченных секторами нелинейностей (критерий Попова) ([22], [28], [13], [16])
Квадратичная стабильность дифференциальных включений ([15], [8])
Стабильность Ляпунова параметрозависимых систем ([12])
Входные/статические/выходные свойства систем LTI (инвариантные эллипсоиды, скорость распада и т.д.) ([9])
Проект обратной связи с несколькими моделями/несколькими целями ([4], [17], [3], [9], [10])
Устойчивое размещение полюса
Оптимальное управление LQG ([9])
Робастный H^∞ управление ([11], [14])
Многозначный H^∞ синтез ([18], [23], [10], [18])
Проект устойчивых контроллеров с заданным коэффициентом усиления ([5], [2])
Управление стохастическими системами ([9])
Взвешенные задачи интерполяции ([9])

Чтобы намекнуть на принципы, лежащие в основе дизайна LMI, давайте рассмотрим формулировки LMI нескольких типичных целей проекта.

Стабильность

Стабильность динамической системы

$\dot{x} = A x$

эквивалентно выполнимости следующей задачи:

Поиск P = P^T таким образом, что A^T P + P A < 0, P > I.

Это может быть обобщено до линейных дифференциальных включений (LDI)

$\dot{x} = A (t) x$

где A (t) изменяется в выпуклой огибающей набора моделей LTI:

$A (t) \in C o {A_{1}, \dots, A_{n}} = {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} A_{i} : a_{i} \geq 0, \sum_{i = 1}^{N} a_{i} = 1} .$

Достаточным условием асимптотической устойчивости этого LDI является выполнимость

Поиск P = P^T таким, что $A_{i}^{T} P + P A_{i} < 0, P > I$ .

Коэффициент усиления RMS

Коэффициент усиления случайных средних квадратов (RMS) стабильной системы LTI

${\begin{matrix} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{matrix}$

- наибольший входной/выходной коэффициент по всем ограниченным входам u (t). Этот коэффициент усиления является глобальным минимумом следующей линейной задачи минимизации [1], [25], [26].

Минимизируйте β по X = X^T и β такие, что

$(\begin{matrix} A^{T} X + X A & X B & C^{T} \\ B^{T} X & - γ I & D^{T} \\ C & D & - γ I \end{matrix}) < 0$

$X > 0.$

Эффективность LQG

Для стабильной системы LTI

$G {\begin{matrix} \dot{x} = A x + B w \\ y = C x \end{matrix}$

где w - нарушение порядка белого шума с единичной ковариацией, эффективность LQG или H2 ∥ G ∥ 2 определяется как

$\begin{matrix} {‖ G ‖}_{2}^{2} : = \lim_{T \to \infty} E {\frac{1}{T} \int_{0}^{T} y^{T} (t) y (t) d t} \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} G^{H} (j ω) G (j ω) d ω . \end{matrix}$

Можно показать, что

${‖ G ‖}_{2}^{2} = \inf {Trace ({CPC}^{T}) : A P + P A^{T} + B B^{T} < 0} .$

Следовательно ${‖ G ‖}_{2}^{2}$ - глобальный минимум задачи LMI. Минимизируйте трассировку (Q) по симметричным матрицам P, Q таким, что

$A P + P A^{T} + B B^{T} < 0$

$(\begin{matrix} Q & C P \\ P C^{T} & P \end{matrix}) > 0.$

Снова это линейная задача минимизации целей, поскольку цель Trace (Q) линейна в переменных принятия решений (свободные значения P, Q).

Документация