LMI Lab - это высокопроизводительный пакет для решения общих задач LMI. Он сочетает простые инструменты для спецификации и манипуляции LMI с мощными решателями для трех типичных задач LMI. Благодаря структурно-ориентированному представлению LMI, различные ограничения LMI могут быть описаны в их естественной блочно-матричной форме. Точно так же переменные оптимизации заданы непосредственно как матричные переменные с некоторой заданной структурой. После того, как задача LMI задана, ее можно решить численно, вызвав соответствующий решатель LMI. Три решателя feasp, mincx, и gevp составляют вычислительный двигатель фрагмента LMI программного обеспечения Robust Control Toolbox™. Их высокая эффективность достигается за счет реализации C-MEX и использования особой структуры каждого LMI.
LMI Lab предлагает инструменты для
Задайте системы LMI либо символически с помощью редактора LMI, либо пошагово с lmivar и lmiterm команды
Получение информации о существующих системах LMI
Изменение существующих систем LMI
Решите три типовые задачи LMI (задача выполнимости, линейная объективная минимизация и обобщенная минимизация собственных значений)
Проверьте результаты
В этой главе приводится руководство по лаборатории LMI, а также более продвинутые советы по максимальному использованию ее потенциала.
Любое линейное матричное неравенство может быть выражено в канонической форме
L (x) = L0 + x1L1 +... + x N L N < 0
где
L0, L1,..., L N заданы симметричные матрицы
x = (x1,..., x N)T ∊ RN - вектор скалярных переменных, которые будут определены. Мы ссылаемся на x1,..., x N как переменные принятия решений. Названия «проект переменных» и «переменные оптимизации» также встречаются в литературе.
Несмотря на то, что это каноническое выражение является общим, LMI редко возникают в этой форме в контрольных приложениях. Рассмотрим для образца неравенство Ляпунова
| (1) |
где
и переменную
является симметричной матрицей. Здесь переменными принятия решений являются свободные значения x1, x2, x3 X и каноническая форма этого LMI читается
| (2) |
Очевидно, что это выражение менее интуитивно понятно и прозрачно, чем уравнение 1. Более того, количество матриц, участвующих в уравнении 2, растет примерно как n2 / 2, если n - размер матрицы A. Следовательно, каноническая форма очень неэффективна с точки зрения памяти, поскольку она требует хранения o(n2 / 2) матрицы размера n, когда одинарная n-на-n матрица А будет достаточной. Наконец, работа с канонической формой также наносит ущерб эффективности решателей LMI. По этим различным причинам LMI Lab использует структурированное представление LMIs. Например, выражение ATX + XA в Уравнении 1 неравенства Ляпунова явно описывается как функция матричной переменной X, и сохранена только матрица A.
В целом LMI принимают блочную матричную форму, где каждый блок является аффинной комбинацией матричных переменных. В качестве довольно типичного рисунка рассмотрим следующий LMI, полученный из H∞ теория
| (3) |
где A, B, C, D, и N дают матрицы, и переменные задачи X = XT ∊ Rn×n и γ ∊ R. Мы используем следующую терминологию для описания таких LMI:
N называется внешним фактором, и блочной матрицей
называется внутренним фактором. Внешний фактор не должен быть квадратным и часто отсутствует.
X и β являются матричными переменными задачи. Обратите внимание, что скаляры рассматриваются как матрицы 1 на 1.
Внутренний фактор L (X, β) является симметричной блочной матрицей, её блочная структура характеризуется размерами её диагональных блоков. По симметрии L (X, β) полностью задается блоками на или выше диагонали.
Каждый блок L (X, β) является аффинным выражением в матричных переменных X и β. Это выражение можно разбить на суммы элементарных терминов. Например, блок (1,1) содержит два элементарных условия: ATX и XA.
Условия являются либо постоянными, либо переменными. Постоянные члены являются фиксированными матрицами, такими как B и D выше. Условия переменной включают одну из матричных переменных, таких как XA, XCT, и -βI выше.
LMI (Уравнение 3) задается списком членов в каждом блоке, как и любой LMI независимо от его сложности.
Что касается матричных переменных X и β, они характеризуются размерностями и структурой. Общие структуры включают прямоугольные неструктурированные, симметричные, кососимметричные и скалярные. Более сложные структуры иногда встречаются в проблемах управления. Для образца матрицы переменная X может быть ограничена блочно-диагональной структурой:
Другой возможностью является симметричная структура Теплица:
Суммируя, структурированные задачи LMI задаются путем объявления матричных переменных и описания терминального содержимого каждого LMI. Это ориентированное на термин описание является систематическим и точно отражает специфическую структуру ограничений LMI. Нет встроенного ограничения на количество LMI, которые можно задать, или на количество блоков и терминов в любом данном LMI. Поэтому системы LMI произвольной сложности могут быть определены в LMI Lab.
LMI Lab предлагает инструменты для определения, манипулирования и численного решения LMI. Его основной целью является
Допускает простое описание LMI в их естественной блочно-матричной форме
Обеспечьте быстрый доступ к решателям LMI (коды оптимизации)
Облегчите валидацию результатов и изменение проблемы
Структурно-ориентированное описание данной системы LMI сохранено как один вектор, называемый внутренним представлением и обобщенно обозначаемый LMISYS в продолжении. Этот вектор кодирует структуру и размерности LMI и матричных переменных, описание всех членов LMI и связанных числовых данных. Необходимо подчеркнуть, что вам не нужно пытаться читать или понимать содержимое LMISYS поскольку все манипуляции с использованием этого внутреннего представления могут выполняться прозрачным способом с помощью инструментов LMI-Lab.
LMI Lab поддерживает следующие функциональности:
Системы LMI могут быть заданы как символьные матричные выражения с интерактивным графическим интерфейсом пользователя lmiedit, или собирать пошагово с помощью двух команд lmivar и lmiterm. Первая опция более интуитивно понятен и прозрачна, в то время как вторая опция более мощен и гибка.
Интерактивная функция lmiinfo отвечает на качественные запросы о системах LMI, созданных с lmiedit или lmivar и lmiterm. Вы также можете использовать lmiedit визуализировать систему LMI, созданную определенной последовательностью lmivar/lmiterm команды.
Решатели LMI общего назначения предусмотрены для трех типовых задач LMI, определенных в приложениях LMI. Эти решатели могут обрабатывать очень общие системы LMI и матричные переменные структуры. Они возвращают допустимый или оптимальный вектор переменных принятия решений x *. Соответствующие значения матричных переменных заданы функцией dec2mat.
Решение x *, произведенное решателями LMI, легко подтверждается функциямиevallmi и showlmi. Это позволяет быстро проверять и/или анализировать результаты. С evallmiвсе переменные условия в системе LMI оцениваются для значения x * переменных принятия решений. Затем левая и правая стороны каждого LMI становятся постоянными матрицами, которые могут отображаться сshowlmi.
Существующая система LMI может быть изменена двумя способами:
LMI может быть удален из системы с dellmi.
Матричная переменная X может быть удалена с помощью delmvar. Он также может быть создан, то есть установлен на некоторое заданное значение матрицы. Эта операция выполняется setmvar и позволяет, для примера, исправить некоторые переменные и решить задачу LMI относительно остальных таковых.