Параметрические методы

Параметрические методы могут привести к более высоким разрешениям, чем непараметрические методы, в случаях, когда длина сигнала коротка. Эти методы используют другой подход к спектральной оценке; вместо того, чтобы пытаться оценить PSD непосредственно из данных, они моделируют данные как выход линейной системы, управляемой белым шумом, а затем пытаются оценить параметры этой линейной системы.

Наиболее часто используемой моделью линейной системы является полнополюсная модель, фильтр со всеми нулями в источник в плоскости z. Выход такого фильтра для входа белого шума является авторегрессивным (AR) процессом. По этой причине эти методы иногда упоминаются как AR-методы спектральной оценки.

Методы AR, как правило, адекватно описывают спектры данных, которые являются «пиковыми», то есть данные, чей PSD велик на определенных частотах. Данные во многих практических приложениях (таких как речь) имеют тенденцию иметь «пиковые спектры», так что модели AR часто полезны. В сложение модели AR приводят к системе линейных уравнений, которую относительно просто решить.

Signal Processing Toolbox™ AR-методы для спектральной оценки включают:

Все методы AR дают оценку PSD, заданную

$\hat{P} (f) = \frac{1}{F_{s}} \frac{ε_{p}}{{| 1 - \sum_{k = 1}^{p} {\hat{a}}_{p} (k) e^{- j 2 π k f / F_{s}} |}^{2}} .$

Различные методы AR оценивают параметры немного по-разному, получая различные оценки PSD. В следующей таблице представлены сводные данные различных методов AR.

Методы AR

	Город	Ковариация	Измененная ковариация	Юле-Уокер
Особенности	Не применяет окно к данным	Не применяет окно к данным	Не применяет окно к данным	Применяет окно к данным
Особенности	Минимизирует ошибки прямого и обратного предсказания в смысле наименьших квадратов с ограничениями коэффициентов AR, чтобы удовлетворить L-D рекурсии	Минимизирует ошибку прямого предсказания в смысле наименьших квадратов	Минимизирует ошибки прямого и обратного предсказания в смысле наименьших квадратов	Минимизирует ошибку прямого предсказания в смысле наименьших квадратов (также называемый «метод автокорреляции»)
Преимущества	Высокое разрешение для кратких записей данных	Лучшее разрешение, чем Y-W для кратких записей данных (более точные оценки)	Высокое разрешение для кратких записей данных	Выполняет также другие методы для больших записей данных
	Всегда производит стабильную модель	Возможность извлечь частоты из данных, состоящих из p или более чистых синусоидов	Возможность извлечь частоты из данных, состоящих из p или более чистых синусоидов	Всегда производит стабильную модель
	Всегда производит стабильную модель		Не страдает спектральным разбиением линий	Всегда производит стабильную модель
Недостатки	Пиковые местоположения, сильно зависящие от начальной фазы	Может производить нестабильные модели	Может производить нестабильные модели	Относительно плохо работает для коротких записей данных
	Может страдать спектральным разбиением линий для синусоидов в шуме, или когда порядок очень велик	Смещение частоты для оценок синусоидов в шуме	Пиковые положения, слегка зависящие от начальной фазы	Смещение частоты для оценок синусоидов в шуме
	Смещение частоты для оценок синусоидов в шуме	Смещение частоты для оценок синусоидов в шуме	Незначительное смещение частоты для оценок синусоидов в шуме
Условия для неособенности		Порядок должен быть меньше или равен половине размера входного кадра	Порядок должен быть меньше или равен 2/3 размера входного кадра	Из-за смещенной оценки матрица автокорреляции гарантирована положительно-определенной, следовательно, несингулярной

Метод AR Юле-Уокера

Открыть Live Script

Метод AR Юла-Уокера спектральной оценки вычисляет параметры AR путем решения следующей линейной системы, которые дают уравнения Юла-Уокера в матричной форме:

$[\begin{matrix} r (0) & r (1) & \dots & r (p - 1) \\ r (1) & r (0) & \dots & r (p - 2) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ r (p - 1) & r (p - 2) & \dots & r (0) \end{matrix}] [\begin{matrix} a (1) \\ a (2) \\ ⋮ \\ a (p) \end{matrix}] = [\begin{matrix} r (1) \\ r (2) \\ ⋮ \\ r (p) \end{matrix}]$ .

На практике смещенная оценка автокорреляции используется для неизвестной истинной автокорреляции. Метод AR Юла-Уокера дает те же результаты, что и максимальная оценка энтропии.

Использование смещенной оценки автокорреляционной функции гарантирует, что приведенная выше автокорреляционная матрица положительно определена. Следовательно, матрица обратима, и решение гарантировано существовать. Более того, вычисленные таким образом параметры AR всегда приводят к стабильной полнополюсной модели. Уравнения Юла-Уокера могут быть эффективно решены с помощью алгоритма Левинсона, который использует в своих интересах структуру Гермитова Теплица матрицы автокорреляции.

Функция тулбокса pyulear реализует метод AR Юла-Уокера. Например, сравните спектр речевого сигнала с помощью метода Уэлча и метода AR Юла-Уокера. Первоначально вычислите и постройте график периодограммы Уэлча.

load mtlb
pwelch(mtlb,hamming(256),128,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Welch Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Спектр AR Юла-Уокера более плавен, чем периодограмма, из-за простой базисной полнополюсной модели.

order = 14;
pyulear(mtlb,order,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Yule-Walker Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Метод Бурга

Открыть Live Script

Метод Бурга для спектральной оценки AR основан на минимизации ошибок прямого и обратного предсказания при удовлетворении рекурсии Левинсона-Дурбина. В отличие от других методов оценки AR, метод Бурга избегает вычисления автокорреляционной функции и вместо этого оценивает коэффициенты отражения непосредственно.

Основными преимуществами метода Бурга являются разрешение тесно расположенных синусоидов в сигналах с низким уровнем шума и оценка коротких записей данных, в этом случае оценки спектральной плотности степени AR очень близки к истинным значениям. В сложение метод Бурга обеспечивает стабильную модель AR и является вычислительно эффективным.

Точность метода Бурга ниже для моделей высокого порядка, длинных записей данных и высоких отношений сигнал-шум (что может вызвать разделение линии или генерацию постороннего peaks в оценке спектра). Оценка спектральной плотности, вычисленная методом Бурга, также чувствительна к сдвигам частоты (относительно истинной частоты), возникающим из-за начальной фазы шумных синусоидальных сигналов. Этот эффект усиливается при анализе коротких последовательностей данных.

Функция тулбокса pburg реализует метод Бурга. Сравните оценки спектра речевого сигнала, сгенерированного как методом Бурга, так и методом AR Юла-Уокера. Исходные расчеты и построение графика оценки Бурга.

load mtlb
order = 14;
pburg(mtlb(1:512),order,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Burg Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Оценка Юла-Уокера очень похожа, если сигнал достаточно длинный.

pyulear(mtlb(1:512),order,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Yule-Walker Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Сравните спектр сигнала с шумом, вычисленного методом Бурга и методом Уэлча. Создайте двухкомпонентный синусоидальный сигнал с частотами 140 Гц и 150 Гц, встроенный в белый Гауссов шум отклонения 0,1 ². Второй компонент имеет удвоенную амплитуду первого компонента. Дискретизация сигнала производится на частоте 1 кГц в течение 1 секунды. Первоначально вычислите и постройте график оценки спектра Уэлча.

fs = 1000;
t = (0:fs)/fs;
A = [1 2];
f = [140;150];
xn = A*cos(2*pi*f*t) + 0.1*randn(size(t));

pwelch(xn,hamming(256),128,1024,fs)

Figure contains an axes. The axes with title Welch Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Вычислите и постройте график оценки Бурга с помощью модели порядка 14.

pburg(xn,14,1024,fs)

Figure contains an axes. The axes with title Burg Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Ковариационные и модифицированные методы ковариации

Открыть Live Script

Ковариационный метод для AR спектральной оценки основан на минимизации ошибки прямого предсказания. Модифицированный метод ковариации основан на минимизации ошибок прямого и обратного предсказания. Тулбокс функционирует pcov и pmcov реализуйте соответствующие методы.

Сравните спектр речевого сигнала, генерируемого как ковариационным методом, так и модифицированным методом ковариации. Сначала вычислите и постройте график оценки ковариационного метода.

load mtlb
pcov(mtlb(1:64),14,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Covariance Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Модифицированный метод ковариации почти идентична, даже для короткой длины сигнала.

pmcov(mtlb(1:64),14,1024,Fs)

Figure contains an axes. The axes with title Modified Covariance Power Spectral Density Estimate contains an object of type line.

Документация