Классическое многомерное масштабирование
Y = cmdscale(D)
[Y,e] = cmdscale(D)
[Y,e] = cmdscale(D,p)
Y = cmdscale(D) принимает n-by- n матрица расстояний D, и возвращает n-by- p матрица строения Y. Строки Y являются координатами n точки в p-мерное пространство для некоторых p < n. Когда D является евклидовой матрицей расстояний, расстояния между этими точками заданы как D. p - размерность наименьшего пространства, в котором n точки, межточечные расстояния которых заданы D может быть встроен.
[Y,e] = cmdscale(D) также возвращает собственные значения Y*Y'. Когда D Евклид, первый p элементы e положительны, остальные равны нулю. Если первый k элементы e намного больше остальных (n-k), тогда можно использовать первый k столбцы Y как k-мерные точки, межточечные расстояния которых аппроксимируют D. Это может обеспечить полезное уменьшение размерности для визуализации, например, для k = 2.
D не обязательно быть евклидовой матрицей расстояний. Если это неевклидова или более общая матрица различий, то некоторые элементы e отрицательные, и cmdscale выбирает p как количество положительных собственных значений. В этом случае сокращение до p или меньшее количество размерностей обеспечивает разумное приближение к D только если отрицательные элементы e малы по величине.
[Y,e] = cmdscale(D,p) также принимает положительное целое число p от 1 до n. p задает размерность необходимого встраивания Y. Если a p размерное вложение возможно, тогда Y будет иметь размер n-by- p и e будет иметь размер p-by-1. Если только q размерное вложение с q < p возможно, тогда Y будет иметь размер n-by- q и e будет иметь размер p-by-1. Определение p может уменьшить вычислительную нагрузку при n очень большой.
Можно задать D как полная матрица расхождения, или в форме вектора верхнего треугольника, такой как выводится pdist. Полная матрица различий должна быть действительной и симметричной, и иметь нули вдоль диагональных и положительных элементов повсюду. Матрица неоднородности в форме верхнего треугольника должна иметь вещественные, положительные значения. Можно также задать D как полная матрица подобия, с таковыми по диагонали и всеми остальными элементами меньше единицы. cmdscale преобразует матрицу подобия в матрицу различия таким образом, чтобы расстояния между точками, возвращенными в Y равны или аппроксимированы sqrt(1-D). Чтобы использовать другое преобразование, вы должны преобразовать сходства перед вызовом cmdscale.
В этом примере показано, как создать карту 10 городов США на основе расстояний между этими городами, используя cmdscale.
Сначала создайте матрицу расстояния и передайте ее в cmdscale. В этом примере D является матрицей полного расстояния: она квадратная и симметричная, имеет положительные значения от диагонали и имеет нули на диагонали.
cities = ... {'Atl','Chi','Den','Hou','LA','Mia','NYC','SF','Sea','WDC'}; D = [ 0 587 1212 701 1936 604 748 2139 2182 543; 587 0 920 940 1745 1188 713 1858 1737 597; 1212 920 0 879 831 1726 1631 949 1021 1494; 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220; 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300; 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923; 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205; 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442; 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329; 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0]; [Y,eigvals] = cmdscale(D);
Далее посмотрите на собственные значения, возвращенные cmdscale. Некоторые из них отрицательны, что указывает на то, что исходные расстояния не евклидовы. Это происходит из-за искривления земли.
format short g [eigvals eigvals/max(abs(eigvals))]
ans = 10×2
9.5821e+06 1
1.6868e+06 0.17604
8157.3 0.0008513
1432.9 0.00014954
508.67 5.3085e-05
25.143 2.624e-06
6.5103e-10 6.7942e-17
-897.7 -9.3685e-05
-5467.6 -0.0005706
-35479 -0.0037026
Однако в этом случае два крупнейших положительных собственных значения намного больше по величине, чем оставшиеся собственные значения. Итак, несмотря на отрицательные собственные значения, первые две координаты Y достаточны для разумного воспроизведения D.
Dtriu = D(find(tril(ones(10),-1)))'; maxrelerr = max(abs(Dtriu-pdist(Y(:,1:2))))./max(Dtriu)
maxrelerr =
0.0075371
Вот график реконструированных городских локаций как карта. Ориентация реконструкции произвольна.
plot(Y(:,1),Y(:,2),'.') text(Y(:,1)+25,Y(:,2),cities) xlabel('Miles') ylabel('Miles')
Определите, как изменяется качество реконструкции, когда вы уменьшаете точки до расстояний, используя различные метрики.
Сгенерируйте десять точек в 4-D пространстве, которые близки к трехмерному пространству. Возьмем линейное преобразование точек так, чтобы их преобразованные значения были близки к 3-D подпространству, которое не совпадает с осями координат.
rng default % Set the seed for reproducibility A = [normrnd(0,1,10,3) normrnd(0,0.1,10,1)]; B = randn(4,4); X = A*B;
Уменьшите точки в X к расстояниям при помощи Евклидовой метрики. Найдите строение Y с межточечными расстояниями.
D = pdist(X,'euclidean');
Y = cmdscale(D);Сравните качество реконструкций при использовании 2, 3 или 4 размерностей. Малая maxerr3 значение указывает, что первые 3 размерности обеспечивают хорошую реконструкцию.
maxerr2 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y(:,1:2))))
maxerr2 = 0.1631
maxerr3 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y(:,1:3))))
maxerr3 = 0.0187
maxerr4 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y)))
maxerr4 = 2.9310e-14
Уменьшите точки в X к расстояниям при помощи 'cityblock' метрический. Найдите строение Y с межточечными расстояниями.
D = pdist(X,'cityblock');
[Y,e] = cmdscale(D);Оцените качество реконструкции. e содержит по меньшей мере один отрицательный элемент большой величины, что может быть результатом низкого качества реконструкции.
maxerr = max(abs(pdist(X)-pdist(Y)))
maxerr = 9.0488
min(e)
ans = -5.6586
[1] Себер, Г. А. Ф. Многомерные наблюдения. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1984.
mdscale | pdist | procrustes