polyconf

Полиномиальные доверительные интервалы

Синтаксис

Y = polyconf(p,X) [Y,DELTA] = polyconf(p,X,S) [Y,DELTA] = polyconf(p,X,S,param1,val1,param2,val2,...)

Описание

Y = polyconf(p,X) вычисляет полином p в значениях в X. p является вектором коэффициентов в нисходящих степенях.

[Y,DELTA] = polyconf(p,X,S) принимает выходы p и S от polyfit и генерирует 95% интервалов предсказания Y ± DELTA для новых наблюдений за значениями в X.

[Y,DELTA] = polyconf(p,X,S,param1,val1,param2,val2,...) задает необязательные пары имя/значение параметра, выбранные из следующего списка.

Параметр	Значение
`'alpha'`	Значение от 0 до 1, задающее доверительный уровень `100*(1-alpha)`%. Значение по умолчанию является `0.05`.
`'mu'`	Двухэлементный вектор, содержащий параметры центрирования и масштабирования. При помощи этой опции `polyconf` использует `(X-mu(1))/mu(2)` вместо `X`.
`'predopt'`	Либо `'observation'` (по умолчанию) для вычисления интервалов предсказания для новых наблюдений со значениями в `X`, или `'curve'` вычислить интервалы доверия для подгонки, рассчитанной по значениям в `X`. См. ниже.
`'simopt'`	Либо `'off'` (по умолчанию) для несовпадающих границ, или `'on'` для одновременных границ. См. ниже.

The 'predopt' и 'simopt' параметры могут быть понятны в терминах следующих функций:

p (x) - неизвестная средняя функция, оцененная по подгонке
l (x) - нижняя доверительная граница
u (x) - верхняя доверительная граница

Предположим, что вы делаете новый y наблюдения _n + 1 в _x n + 1, так что

<reservedrangesplaceholder8> <reservedrangesplaceholder7> +1 (x <reservedrangesplaceholder5> +1) = p (x <reservedrangesplaceholder2> +1) + <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> +1

По умолчанию интервал [<reservedrangesplaceholder11> <reservedrangesplaceholder10> +1 ₍x <reservedrangesplaceholder8> +1), <reservedrangesplaceholder7> <reservedrangesplaceholder6> +1 (x <reservedrangesplaceholder4> +1)] является 95%-й доверительной границей на <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> +1 (x <reservedrangesplaceholder0> +1).

Следующие комбинации 'predopt' и 'simopt' параметры позволяют вам задать другие границы.

`'simopt'`	`'predopt'`	Ограниченная величина
`'off'`	`'observation'`	y _n + _{1 (}x n + 1) (по умолчанию)
`'off'`	`'curve'`	p (x _{<reservedrangesplaceholder0> +1})
`'on'`	`'observation'`	y _n + 1 (x), для всех x
`'on'`	`'curve'`	p (x), для всех x

В целом, 'observation' интервалы шире 'curve' интервалы, из-за дополнительной неопределенности предсказания нового значения отклика (кривая плюс случайные ошибки). Аналогичным образом, одновременные интервалы шире, чем несимультные интервалы, из-за дополнительной неопределенности ограничивающих значений для всех x предикторов.

Примеры

свернуть все

Постройте Аппроксимацию полиномом и интервалы предсказания

Открыть Live Script

Подгонка полинома к набору выборочных данных и оценка 95% интервалов предсказания и корней установленного полинома. Постройте график данных и оценок и отобразите подобранное полиномиальное выражение с помощью функции helper polystr, чей код появляется в конце этого примера.

Сгенерируйте выборочные данные точки (x,y) с квадратичным трендом.

rng('default') % For reproducibility
x = -5:5;
y = x.^2 - 20*x - 3 + 5*randn(size(x));

Подбор полинома второй степени к данным при помощи polyfit.

degree = 2; % Degree of the fit
[p,S] = polyfit(x,y,degree);

Оцените 95% интервалы предсказания при помощи polyconf.

alpha = 0.05; % Significance level
[yfit,delta] = polyconf(p,x,S,'alpha',alpha);

Постройте график данных, установленный полином и интервалы предсказания. Отобразите установленное полиномиальное выражение с помощью функции helper polystr.

plot(x,y,'b+')
hold on
plot(x,yfit,'g-')
plot(x,yfit-delta,'r--',x,yfit+delta,'r--')
legend('Data','Fit','95% Prediction Intervals')
title(['Fit: ',texlabel(polystr(round(p,2)))])
hold off

$Figure contains an axes. The axes with title Fit: {1.12} {x}^{2} - {19.54} {x} - {2} contains 4 objects of type line. These objects represent Data, Fit, 95% Prediction Intervals.$

Найдите корни полинома p.

r = roots(p)

Поскольку корни являются реальными значениями, можно построить их также. Оцените подобранные значения и интервалы предсказания для интервала x, который включает корни. Затем постройте график корней и оценок.

if isreal(r)
    xmin = min([r(:);x(:)]);
    xrange = range([r(:);x(:)]);
    xExtended = linspace(xmin - 0.1*xrange, xmin + 1.1*xrange,1000);
    [yfitExtended,deltaExtended] = polyconf(p,xExtended,S,'alpha',alpha);

    plot(x,y,'b+')
    hold on
    plot(xExtended,yfitExtended,'g-')
    plot(r,zeros(size(r)),'ko')
    plot(xExtended,yfitExtended-deltaExtended,'r--')
    plot(xExtended,yfitExtended+deltaExtended,'r--')
    plot(xExtended,zeros(size(xExtended)),'k-')
    legend('Data','Fit','Roots of Fit','95% Prediction Intervals')
    title(['Fit: ',texlabel(polystr(round(p,2)))])
    axis tight
    hold off
end

$Figure contains an axes. The axes with title Fit: {1.12} {x}^{2} - {19.54} {x} - {2} contains 6 objects of type line. These objects represent Data, Fit, Roots of Fit, 95% Prediction Intervals.$

Также можно использовать polytool для интерактивного полиномиального подбора кривой.

polytool(x,y,degree,alpha)

Figure Prediction Plot of Quadratic Model contains an axes and other objects of type uimenu, uicontrol. The axes contains 6 objects of type line.

Функция помощника

The polystr.m файл задает polystr вспомогательная функция.

type polystr.m % Display contents of polystr.m file

function s = polystr(p)
% POLYSTR Converts a vector of polynomial coefficients to a character string.
% S is the string representation of P.

if all(p == 0) % All coefficients are 0.
    s = '0';
else
    d = length(p) - 1; % Degree of polynomial.
    s = []; % Initialize s.
    for a = p
        if a ~= 0 % Coefficient is nonzero.
            if ~isempty(s) % String is not empty.
                if a > 0
                    s = [s ' + ']; % Add next term.
                else
                    s = [s ' - ']; % Subtract next term.
                    a = -a; % Value to subtract.
                end
            end
            if a ~= 1 || d == 0 % Add coefficient if it is ~=1 or polynomial is constant.
                s = [s num2str(a)];
                if d > 0 % For nonconstant polynomials, add *.
                    s = [s '*'];
                end
            end
            if d >= 2 % For terms of degree > 1, add power of x.
                s = [s 'x^' int2str(d)];
            elseif d == 1 % No power on x term.
                s = [s 'x'];
            end
        end
        d = d - 1; % Increment loop: Add term of next lowest degree.
    end
end
end

См. также

polyfit | polytool | polyval

Представлено до R2006a

Документация