Сгенерируйте 10 точек с равными интервалами вдоль синусоидальной кривой в интервале [0,4*pi].

x = linspace(0,4*pi,10);
y = sin(x);

Использование polyfit для аппроксимации полинома 7-й степени к точкам.

p = polyfit(x,y,7);

Вычислите полином на более мелкой сетке и постройте график результатов.

x1 = linspace(0,4*pi);
y1 = polyval(p,x1);
figure
plot(x,y,'o')
hold on
plot(x1,y1)
hold off

Создайте вектор с 5 равными точками в интервале [0,1], и оценить $$y(x)=(1+x{)}^{-1}$$ в этих точках.

x = linspace(0,1,5);
y = 1./(1+x);

Подбор полинома степени 4 к 5 точкам. В общем, для n точки могут соответствовать полиному степени n-1 чтобы точно пройти через точки.

p = polyfit(x,y,4);

Вычислите исходную функцию и аппроксимацию полиномом на более мелкой сетке точек от 0 до 2.

x1 = linspace(0,2);
y1 = 1./(1+x1);
f1 = polyval(p,x1);

Постройте график значений функций и аппроксимации полиномом в более широком интервале [0,2], с точками, используемыми для получения аппроксимации полиномом, подсвеченными как круги. Аппроксимация полиномом хороша в исходном [0,1] интервал, но быстро расходится с установленной функцией вне этого интервала.

figure
plot(x,y,'o')
hold on
plot(x1,y1)
plot(x1,f1,'r--')
legend('y','y1','f1')

Сначала сгенерируйте вектор x точки с равными интервалами в интервале [0,2.5], и затем оцените erf(x) в этих точках.

x = (0:0.1:2.5)';
y = erf(x);

Определите коэффициенты аппроксимирующего полинома степени 6.

p = polyfit(x,y,6)

p = 1×7

    0.0084   -0.0983    0.4217   -0.7435    0.1471    1.1064    0.0004

Чтобы увидеть, насколько хороша подгонка, вычислите полином в точках данных и сгенерируйте таблицу, показывающую данные, подгонку и ошибку.

f = polyval(p,x);
T = table(x,y,f,y-f,'VariableNames',{'X','Y','Fit','FitError'})

T=26×4 table
     X        Y          Fit         FitError  
    ___    _______    __________    ___________

      0          0    0.00044117    -0.00044117
    0.1    0.11246       0.11185     0.00060836
    0.2     0.2227       0.22231     0.00039189
    0.3    0.32863       0.32872    -9.7429e-05
    0.4    0.42839        0.4288    -0.00040661
    0.5     0.5205       0.52093    -0.00042568
    0.6    0.60386       0.60408    -0.00022824
    0.7     0.6778       0.67775     4.6383e-05
    0.8     0.7421       0.74183     0.00026992
    0.9    0.79691       0.79654     0.00036515
      1     0.8427       0.84238      0.0003164
    1.1    0.88021       0.88005     0.00015948
    1.2    0.91031       0.91035    -3.9919e-05
    1.3    0.93401       0.93422      -0.000211
    1.4    0.95229       0.95258    -0.00029933
    1.5    0.96611       0.96639    -0.00028097
      ⋮

В этом интервале интерполированные значения и фактические значения сходятся довольно тесно. Создайте график, чтобы показать, как за пределами этого интервала экстраполированные значения быстро расходятся с фактическими данными.

x1 = (0:0.1:5)';
y1 = erf(x1);
f1 = polyval(p,x1);
figure
plot(x,y,'o')
hold on
plot(x1,y1,'-')
plot(x1,f1,'r--')
axis([0  5  0  2])
hold off

Составьте таблицу населения данных за 1750 - 2000 годы и постройте графики точек данных.

year = (1750:25:2000)';
pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';
T = table(year, pop)

T=11×2 table
    year       pop   
    ____    _________

    1750     7.91e+08
    1775     8.56e+08
    1800     9.78e+08
    1825     1.05e+09
    1850    1.262e+09
    1875    1.544e+09
    1900     1.65e+09
    1925    2.532e+09
    1950    6.122e+09
    1975     8.17e+09
    2000    1.156e+10

plot(year,pop,'o')

Использование polyfit с тремя выходами для аппроксимации полинома 5-й степени с помощью центрирования и масштабирования, что улучшает числовые свойства задачи. polyfit центрирует данные в year в 0 и масштабирует его, чтобы иметь стандартное отклонение 1, которое избегает плохо обусловленной матрицы Вандермонда в вычислении аппроксимации.

[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);

Использование polyval с четырьмя входами для оценки p с масштабированными годами, (year-mu(1))/mu(2). Постройте график результатов по сравнению с исходными годами.

f = polyval(p,year,[],mu);
hold on
plot(year,f)
hold off

Подбор простой линейной регрессионной модели к набору дискретных точек 2D данных.

Создайте несколько векторов выборочных точек выборочных данных (x, y). Подбор полинома первой степени к данным.

x = 1:50; 
y = -0.3*x + 2*randn(1,50); 
p = polyfit(x,y,1); 

Оцените установленный полином p в точках в x. Постройте график полученной линейной регрессионой модели с данными.

f = polyval(p,x); 
plot(x,y,'o',x,f,'-') 
legend('data','linear fit') 

Подгонка линейной модели к набору точек данных и построение графика результатов, включая оценку 95% интервала предсказания.

Создайте несколько векторов выборочных точек выборочных данных (x, y). Использование polyfit для аппроксимации полинома первой степени к данным. Задайте два выхода, чтобы вернуть коэффициенты для линейной подгонки, а также структуру оценки ошибки.

x = 1:100; 
y = -0.3*x + 2*randn(1,100); 
[p,S] = polyfit(x,y,1); 

Оцените аппроксимацию полиномом первой степени в p в точках в x. Задайте структуру оценки ошибки как третий вход так, чтобы polyval вычисляет оценку стандартной ошибки. Стандартная оценка ошибки возвращается в delta.

[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);

Постройте график исходных данных, линейной подгонки и 95% интервала предсказания $\mathit{y}\pm 2\Delta$.

plot(x,y,'bo')
hold on
plot(x,y_fit,'r-')
plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--')
title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval')
legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')