Вычислите полином $\mathit{p}\left(\mathit{x}\right)=3{\mathit{x}}^2+2\mathit{x}+1$ в точках $\mathit{x}=5,7,9$. Полиномиальные коэффициенты могут быть представлены вектором [3 2 1].

p = [3 2 1];
x = [5 7 9];
y = polyval(p,x)

y = 1×3

    86   162   262

Вычислите определенный интеграл

Создайте вектор, чтобы представлять полиномиальный интегранд $$3x^4-4x^2+10x-25$$. ${\mathit{x}}^3$ термин отсутствует и, таким образом, имеет коэффициент 0.

p = [3 0 -4 10 -25];

Использование polyint для интегрирования полинома с помощью константы интегрирования, равной 0.

q = polyint(p)

q = 1×6

    0.6000         0   -1.3333    5.0000  -25.0000         0

Найдите значение интеграла путем оценки q на пределах интегрирования.

a = -1;
b = 3;
I = diff(polyval(q,[a b]))

I = 49.0667

Подгонка линейной модели к набору точек данных и построение графика результатов, включая оценку 95% интервала предсказания.

Создайте несколько векторов выборочных точек выборочных данных (x, y). Использование polyfit для аппроксимации полинома первой степени к данным. Задайте два выхода, чтобы вернуть коэффициенты для линейной подгонки, а также структуру оценки ошибки.

x = 1:100; 
y = -0.3*x + 2*randn(1,100); 
[p,S] = polyfit(x,y,1); 

Оцените аппроксимацию полиномом первой степени в p в точках в x. Задайте структуру оценки ошибки как третий вход так, чтобы polyval вычисляет оценку стандартной ошибки. Стандартная оценка ошибки возвращается в delta.

[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);

Постройте график исходных данных, линейной подгонки и 95% интервала предсказания $\mathit{y}\pm 2\Delta$.

plot(x,y,'bo')
hold on
plot(x,y_fit,'r-')
plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--')
title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval')
legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')

Составьте таблицу населения данных за 1750 - 2000 годы и постройте графики точек данных.

year = (1750:25:2000)';
pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]';
T = table(year, pop)

T=11×2 table
    year       pop   
    ____    _________

    1750     7.91e+08
    1775     8.56e+08
    1800     9.78e+08
    1825     1.05e+09
    1850    1.262e+09
    1875    1.544e+09
    1900     1.65e+09
    1925    2.532e+09
    1950    6.122e+09
    1975     8.17e+09
    2000    1.156e+10

plot(year,pop,'o')

Использование polyfit с тремя выходами для аппроксимации полинома 5-й степени с помощью центрирования и масштабирования, что улучшает числовые свойства задачи. polyfit центрирует данные в year в 0 и масштабирует его, чтобы иметь стандартное отклонение 1, которое избегает плохо обусловленной матрицы Вандермонда в вычислении аппроксимации.

[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);

Использование polyval с четырьмя входами для оценки p с масштабированными годами, (year-mu(1))/mu(2). Постройте график результатов по сравнению с исходными годами.

f = polyval(p,year,[],mu);
hold on
plot(year,f)
hold off