meijerG

G-функция Мейера

Свернуть все на странице

Синтаксис

meijerG(a,b,c,d,z)

Описание

пример

meijerG(a,b,c,d,z) возвращает G-функцию Мейера. meijerG поэлементно в z. Параметры входа a, b, c, и d векторы, которые могут быть пустыми, как в meijerG([], [], 3.2, [], 1).

Примеры

свернуть все

syms x
meijerG(3, [], [], 2, 5)
ans =
    25

Звонить meijerG когда z - массив. meijerG действует поэлементно.

a = 2;
z = [1 2 3];
meijerG(a, [], [], [], z)
ans =
    0.3679    1.2131    2.1496

Преобразуйте числовой вход в символьную форму с помощью sym, и найти G-функцию Мейера. Для определенных символьных входов, meijerG возвращает точный символьный выход с помощью других функций.

meijerG(sym(2), [], [], [], sym(3))
ans =
3*exp(-1/3)
meijerG(sym(2/5), [], sym(1/2), [], sym(3))
ans =
(2^(4/5)*3^(1/2)*gamma(1/10))/80

Для символьных переменных или выражений, meijerG возвращает выход с точки зрения простых или специальных функций.

syms a b c d z
f = meijerG(a,b,c,d,z)
f =
(gamma(c - a + 1)*(1/z)^(1 - a)*hypergeom([c - a + 1, d - a + 1],...
 b - a + 1, 1/z))/(gamma(b - a + 1)*gamma(a - d))

Подстановка значений для переменных при помощи subs, и преобразовать значения в double при помощи double.

fVal = subs(f, [a b c d z], [1.2 3 5 7 9])
fVal =
(266*9^(1/5)*hypergeom([24/5, 34/5], 14/5, 1/9))/(25*gamma(-29/5))
double(fVal)
ans =
   5.7586e+03

Вычислите fVal к более высокой точности с помощью vpa.

vpa(fVal)
ans =
5758.5946416377834597597497022199

Показать отношения между meijerG и более простые функции для заданных значений параметров.

Покажите, что когда a, b, и d пусты, и c = 0, затем meijerG сокращается до exp(-z).

syms z
meijerG([], [], 0, [], z)
ans =
exp(-z)

Покажите, что когда a, b, и d пусты, и c = [1/2 -1/2], затем meijerG уменьшается до 2Kv (1,2 z1/2).

meijerG([], [], [1/2 -1/2], [], z)
ans =
2*besselk(1, 2*z^(1/2))

Постройте график действительных и мнимых значений G-функции Мейера для значений b и z, где a = [-2 2] и c и d пусты. Заполните контуры установкой Fill на on.

syms b z
f = meijerG([-2 2], b, [], [], z);

subplot(2,2,1)
fcontour(real(f),'Fill','on')
title('Real Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')

subplot(2,2,2)
fcontour(imag(f),'Fill','on')
title('Imag. Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')

Входные параметры

свернуть все

Вход, заданный как число или вектор или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Вход, заданный как число или вектор или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Вход, заданный как число или вектор или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Вход, заданный как число или вектор или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Вход, заданный как число или вектор или символьное число, переменная, вектор, функция или выражение.

Подробнее о

свернуть все

G-функция Мейера

G-функция Мейера meijerG([a1,…,an], [an + 1,…,ap], [b1,…,bm], [bm + 1,…,bq], z) является общей функцией, которая включает другие специальные функции в качестве конкретных ситуаций и определяется как

Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bq|z)=12πя∫(∏j=1mΓ(bj−s))(∏j=1nΓ(1−aj+s))(∏j=m+1qΓ(1−bj+s))(∏j=n+1pΓ(aj−s))zsds.

Алгоритмы

Для G-функции Мейера meijerG([a1,…,an], [an + 1,…,ap], [b1,…,bm], [bm + 1,…,bq], z), для <reservedrangesplaceholder7> ∊ (a1..., an) и <reservedrangesplaceholder4> ∊  (b1..., bm), никакая пара параметров <reservedrangesplaceholder1> − <reservedrangesplaceholder0> не должна отличаться положительным целым числом.

G-функция Мейера включает комплексный контурный интеграл с одним из следующих типов путей интегрирования:

  • Контур идет от - i ∞ до i ∞ так что все полюсы Γ(bj−s)j = 1,..., m лежат справа от пути, и все полюса Γ(1−ak+s), k = 1,..., n лежать слева от пути. Интеграл сходится, еслиc=m+n−p+q2>0, |<reservedrangesplaceholder10> (z) | < c Если |<reservedrangesplaceholder7> (z) | = c .r, c ≥ 0, интеграл сходится абсолютно когда p = q и ℜ (ψ) < - 1, гдеΨ=(∑j=1qbj)−(∑i=1pai). Когда p ≠ q, интеграл сходится, если вы выбираете контур так, что контурные точки около i ∞ и - я ∞ иметь действительную часть σ удовлетворения (q−p)σ>ℜ(ψ)+1−q−p2.

  • Контур является циклом, начинающимся и заканчивающимся на ∞ и окружающим все полюсы Γ(bj−s), j = 1,..., m двигаясь в отрицательном направлении, но ни один из полюсов Γ(1−ak+s), k = 1, …, n. Интеграл сходится, если q ≥ 1 и либо p < q, либо p = q и |<reservedrangesplaceholder0>| < 1.

  • Контур является циклом, начинающимся и заканчивающимся на - ∞ и окружающим все полюсы Γ(1−ak+s), k = 1,..., n двигаясь в положительном направлении, но ни один из полюсов Γ(bj+s), j = 1, …, m. Интеграл сходится, если p ≥ 1 и p > q или p = q и |<reservedrangesplaceholder0>| > 1.

Интеграл представляет обратное преобразование Лапласа или, более конкретно, тип интеграла Меллина-Барнса.

Для заданного набора параметров контур, выбранный в определении G-функции Мейера, является тем, для которого интеграл сходится. Если интеграл сходится для нескольких контуров, все контуры приводят к одной функции.

G-функция Мейера удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка max (p, q) относительно переменной z:

((−1))m+n−pz(∏i=1p(zddz−ai−1))−∏j=1q(zddz−bj))Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bp|z)=0.

Если p < q, это дифференциальное уравнение имеет регулярную особенность в z = 0 и неправильную особенность в z = ∞. Если p = q, точки z = 0 и z = ∞ являются регулярными особенностями, и существует дополнительная регулярная особенность в z = (− 1)m + n - p.

G-функция Мейера представляет аналитическое продолжение гипергеометрической функции [1]. Для конкретных вариантов параметров можно выразить G-функцию Мейера через гипергеометрическую функцию. Для примера, если никакие два из b h членов, h = 1,..., m, не отличаются целым числом или нулями и все полюса просты, то

Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bp|z)=∑h=1m(∏j=1…m,j≠hΓ(bj−bh))(∏j=1nΓ(1+bh−aj))(∏j=m+1qΓ(1+bh−bj))(∏j=n+1pΓ(aj−bh))zbhpFq−1(Ah;Bh;(−1)p−m−nz).

Здесь p < q или p = q и |<reservedrangesplaceholder2>| < 1. A h обозначает

Ah=1+bh−a1,…,1+bh−ap.

B h обозначает

Bh=1+bh−b1,…,1+bh−b(h−1),1+bh−bh+1,…,1+bh−bq.

G-функции Мейера с различными параметрами могут представлять одну и ту же функцию.

  • G-функция Мейера симметрична относительно параметров. Изменение порядка в каждом из следующих списков векторов не изменяет получающуюся G-функцию Майера: [<reservedrangesplaceholder13> 1..., <reservedrangesplaceholder12> <reservedrangesplaceholder11>], [<reservedrangesplaceholder10> <reservedrangesplaceholder9> + 1..., <reservedrangesplaceholder8> <reservedrangesplaceholder7>], [<reservedrangesplaceholder6> 1..., <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4>], [<reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> + 1..., <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>].

  • Если z не является отрицательным вещественным числом и z ≠ 0, функция удовлетворяет следующих тождеств:

    Gp,qm,n(a1,…,apb1,…,bq|z)=Gq,pn,m(1−b1,…,1−bp1−a1,…,1−ap|1z).

    .

  • Если 0 < n < p и r = a 1 - a p является целым числом, функция удовлетворяет следующему идентификатору:

    Gp,qm,n(a1,a2,…,ap−1,apb1,b2,…,bq−1,bq|z)=Gp,qm,n(ap,a2,…,ap−1,a1b1,b2,…,bq−1,bq|z).

    .

  • Если 0 < m < q и r = b 1 - b q является целым числом, функция удовлетворяет следующему идентификатору:

    Gp,qm,n(a1,a2,…,ap−1,apb1,b2,…,bq−1,bq|z)=(−1)γGp,qm,n(a1,a2,…,ap−1,apbq,b2,…,bq−1,b1|z).

    .

Согласно этим правилам, meijerG вызов функции может быть возвращен meijerG с измененными входными параметрами.

Ссылки

[1] Люк, Ю. Л., Особые функции и их приближения. Том 1. Нью-Йорк: Академическая пресса, 1969.

[2] Прудников, А. П., Ю. А. Брычков, и О. И. Маричев, Интегралы и Серии. Vol 3: Больше специальных функций. Гордон и Брешь, 1990.

[3] Abramowitz, M., I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. 9-я печать. Нью-Йорк: Dover Publications, 1970.

См. также

Введенный в R2017b

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте