G-функция Мейера
syms x meijerG(3, [], [], 2, 5)
ans =
25Звонить meijerG когда z - массив. meijerG действует поэлементно.
a = 2; z = [1 2 3]; meijerG(a, [], [], [], z)
ans =
0.3679 1.2131 2.1496Преобразуйте числовой вход в символьную форму с помощью sym, и найти G-функцию Мейера. Для определенных символьных входов, meijerG возвращает точный символьный выход с помощью других функций.
meijerG(sym(2), [], [], [], sym(3))
ans = 3*exp(-1/3)
meijerG(sym(2/5), [], sym(1/2), [], sym(3))
ans = (2^(4/5)*3^(1/2)*gamma(1/10))/80
Для символьных переменных или выражений, meijerG возвращает выход с точки зрения простых или специальных функций.
syms a b c d z f = meijerG(a,b,c,d,z)
f = (gamma(c - a + 1)*(1/z)^(1 - a)*hypergeom([c - a + 1, d - a + 1],... b - a + 1, 1/z))/(gamma(b - a + 1)*gamma(a - d))
Подстановка значений для переменных при помощи subs, и преобразовать значения в double при помощи double.
fVal = subs(f, [a b c d z], [1.2 3 5 7 9])
fVal = (266*9^(1/5)*hypergeom([24/5, 34/5], 14/5, 1/9))/(25*gamma(-29/5))
double(fVal)
ans = 5.7586e+03
Вычислите fVal к более высокой точности с помощью vpa.
vpa(fVal)
ans = 5758.5946416377834597597497022199
Показать отношения между meijerG и более простые функции для заданных значений параметров.
Покажите, что когда a, b, и d пусты, и c = 0, затем meijerG сокращается до exp(-z).
syms z meijerG([], [], 0, [], z)
ans = exp(-z)
Покажите, что когда a, b, и d пусты, и c = [1/2 -1/2], затем meijerG уменьшается до 2Kv (1,2 z1/2).
meijerG([], [], [1/2 -1/2], [], z)
ans = 2*besselk(1, 2*z^(1/2))
Постройте график действительных и мнимых значений G-функции Мейера для значений b и z, где a = [-2 2] и c и d пусты. Заполните контуры установкой Fill на on.
syms b z
f = meijerG([-2 2], b, [], [], z);
subplot(2,2,1)
fcontour(real(f),'Fill','on')
title('Real Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')
subplot(2,2,2)
fcontour(imag(f),'Fill','on')
title('Imag. Values of Meijer G')
xlabel('b')
ylabel('z')
Для G-функции Мейера meijerG([a1,…,an], [an + 1,…,ap], [b1,…,bm], [bm + 1,…,bq], z), для <reservedrangesplaceholder7> ∊ (a1..., an) и <reservedrangesplaceholder4> ∊ (b1..., bm), никакая пара параметров <reservedrangesplaceholder1> − <reservedrangesplaceholder0> не должна отличаться положительным целым числом.
G-функция Мейера включает комплексный контурный интеграл с одним из следующих типов путей интегрирования:
Контур идет от - i ∞ до i ∞ так что все полюсы j = 1,..., m лежат справа от пути, и все полюса , k = 1,..., n лежать слева от пути. Интеграл сходится, если, |<reservedrangesplaceholder10> (z) | < c Если |<reservedrangesplaceholder7> (z) | = c .r, c ≥ 0, интеграл сходится абсолютно когда p = q и ℜ (ψ) < - 1, где. Когда p ≠ q, интеграл сходится, если вы выбираете контур так, что контурные точки около i ∞ и - я ∞ иметь действительную часть σ удовлетворения .
Контур является циклом, начинающимся и заканчивающимся на ∞ и окружающим все полюсы , j = 1,..., m двигаясь в отрицательном направлении, но ни один из полюсов , k = 1, …, n. Интеграл сходится, если q ≥ 1 и либо p < q, либо p = q и |<reservedrangesplaceholder0>| < 1.
Контур является циклом, начинающимся и заканчивающимся на - ∞ и окружающим все полюсы , k = 1,..., n двигаясь в положительном направлении, но ни один из полюсов , j = 1, …, m. Интеграл сходится, если p ≥ 1 и p > q или p = q и |<reservedrangesplaceholder0>| > 1.
Интеграл представляет обратное преобразование Лапласа или, более конкретно, тип интеграла Меллина-Барнса.
Для заданного набора параметров контур, выбранный в определении G-функции Мейера, является тем, для которого интеграл сходится. Если интеграл сходится для нескольких контуров, все контуры приводят к одной функции.
G-функция Мейера удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка max (p, q) относительно переменной z:
Если p < q, это дифференциальное уравнение имеет регулярную особенность в z = 0 и неправильную особенность в z = ∞. Если p = q, точки z = 0 и z = ∞ являются регулярными особенностями, и существует дополнительная регулярная особенность в z = (− 1)m + n - p.
G-функция Мейера представляет аналитическое продолжение гипергеометрической функции [1]. Для конкретных вариантов параметров можно выразить G-функцию Мейера через гипергеометрическую функцию. Для примера, если никакие два из b h членов, h = 1,..., m, не отличаются целым числом или нулями и все полюса просты, то
Здесь p < q или p = q и |<reservedrangesplaceholder2>| < 1. A h обозначает
B h обозначает
G-функции Мейера с различными параметрами могут представлять одну и ту же функцию.
G-функция Мейера симметрична относительно параметров. Изменение порядка в каждом из следующих списков векторов не изменяет получающуюся G-функцию Майера: [<reservedrangesplaceholder13> 1..., <reservedrangesplaceholder12> <reservedrangesplaceholder11>], [<reservedrangesplaceholder10> <reservedrangesplaceholder9> + 1..., <reservedrangesplaceholder8> <reservedrangesplaceholder7>], [<reservedrangesplaceholder6> 1..., <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4>], [<reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> + 1..., <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0>].
Если z не является отрицательным вещественным числом и z ≠ 0, функция удовлетворяет следующих тождеств:
.
Если 0 < n < p и r = a 1 - a p является целым числом, функция удовлетворяет следующему идентификатору:
.
Если 0 < m < q и r = b 1 - b q является целым числом, функция удовлетворяет следующему идентификатору:
.
Согласно этим правилам, meijerG вызов функции может быть возвращен meijerG с измененными входными параметрами.
[1] Люк, Ю. Л., Особые функции и их приближения. Том 1. Нью-Йорк: Академическая пресса, 1969.
[2] Прудников, А. П., Ю. А. Брычков, и О. И. Маричев, Интегралы и Серии. Vol 3: Больше специальных функций. Гордон и Брешь, 1990.
[3] Abramowitz, M., I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. 9-я печать. Нью-Йорк: Dover Publications, 1970.