Гипергеометрическая функция
hypergeom( представляет обобщенную гипергеометрическую функцию.a,b,z)
В зависимости от того, является ли вход плавающей точкой или символическим, hypergeom возвращает результаты с плавающей точкой или символьные.
Вычислите гипергеометрическую функцию для этих чисел. Потому что эти числа с плавающей точкой, hypergeom возвращает результаты с плавающей точкой.
A = [hypergeom([1 2], 2.5, 2),...
hypergeom(1/3, [2 3], pi),...
hypergeom([1 1/2], 1/3, 3*i)]A = -1.2174 - 0.8330i 1.2091 + 0.0000i -0.2028 + 0.2405i
Верните точные символьные результаты путем преобразования, по крайней мере, одного из входов в символьную форму при помощи sym. Для большинства символических (точных) входов hypergeom возвращает неразрешенные символические вызовы.
symA = [hypergeom([1 2], 2.5, sym(2)),...
hypergeom(1/3, [2 3], sym(pi)),...
hypergeom([1 1/2], sym(1/3), 3*i)]symA = [ hypergeom([1, 2], 5/2, 2), hypergeom(1/3, [2, 3], pi), hypergeom([1/2, 1], 1/3, 3i)]
Преобразуйте символьный результат в высокоточный с плавающей точкой при помощи vpa.
vpa(symA)
ans = [ - 1.2174189301051728850455150601879 - 0.83304055090469367131547768563638i,... 1.2090631887094273193917339575087,... - 0.20275169745081962937527290365593 + 0.24050134226872040357481317881983i]
Показать, что hypergeom возвращает специальные значения для определенных входных значений.
syms a b c d x hypergeom([], [], x)
ans = exp(x)
hypergeom([a b c d], [a b c d], x)
ans = exp(x)
hypergeom(a, [], x)
ans = 1/(1 - x)^a
Покажите, что гипергеометрическая функция всегда 1 при 0.
syms a b c d hypergeom([a b], [c d], 0)
ans = 1
Если после отмены одинаковых параметров в первых двух аргументах список верхних параметров содержит 0, получившаяся гипергеометрическая функция константа со значением 1. Для получения дополнительной информации смотрите Алгоритмы.
hypergeom([0 0 2 3], [a 0 4], x)
ans = 1
Если после отмены одинаковых параметров в первых двух аргументах верхние параметры содержат отрицательное целое число, больше наибольшего отрицательного целого числа в нижних параметрах, то гипергеометрическая функция является полиномом.
hypergeom([-4 -2 3], [-3 1 4], x)
ans = (3*x^2)/5 - 2*x + 1
Гипергеометрические функции сводятся к другим специальным функциям для определенных входных значений.
hypergeom([1], [a], x) hypergeom([a], [a, b], x)
ans = (exp(x/2)*whittakerM(1 - a/2, a/2 - 1/2, -x))/(-x)^(a/2) ans = x^(1/2 - b/2)*gamma(b)*besseli(b - 1, 2*x^(1/2))
Многие символические функции, такие как diff и taylor, указатель, содержащие выражения hypergeom.
Дифференцируйте это выражение, содержащее гипергеометрическую функцию.
syms a b c d x diff(1/x*hypergeom([a b],[c d],x), x)
ans = (a*b*hypergeom([a + 1, b + 1], [c + 1, d + 1], x))/(c*d*x)... - hypergeom([a, b], [c, d], x)/x^2
Вычислите ряд Тейлора этой гипергеометрической функции.
taylor(hypergeom([1 2],3,x), x)
ans = (2*x^5)/7 + x^4/3 + (2*x^3)/5 + x^2/2 + (2*x)/3 + 1
Гипергеометрическая функция
Гипергеометрическая функция имеет критерии сходимости:
Сходится, если p ≤ q и |<reservedrangesplaceholder0>| < ∞.
Сходится, если p = q + 1 и |<reservedrangesplaceholder1>| < 1. Для |<reservedrangesplaceholder0>| > = 1 ряд расходится и определяется аналитическим продолжением.
Расходится, если p > q + 1 и z ≠ 0. Здесь, ряд определен асимптотическим расширением <reservedrangesplaceholder6> <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4> (a; b; z) вокруг z = 0. Разрез ветви является положительной действительной осью.
Функция является полиномом, называемым гипергеометрическим полиномом, если любой aj является непозитивным целым числом.
Функция не определена:
Если любое bk является непозитивным целым числом, таким что bk > aj, где aj также является непозитивным целым числом, потому что происходит деление на 0
Если любой bk является непозитивным целым числом, а ни один aj не является непозитивным целым числом
Функция имеет уменьшенный порядок, когда верхние и более низкие значения параметров равны и отменяются. Если r значения верхних и более низких параметров равны (то есть, a = [<reservedrangesplaceholder26> 1..., <reservedrangesplaceholder25> <reservedrangesplaceholder24> - r, <reservedrangesplaceholder22> 1..., <reservedrangesplaceholder21> <reservedrangesplaceholder20>], b = [<reservedrangesplaceholder18> 1..., <reservedrangesplaceholder17> <reservedrangesplaceholder16> - r, <reservedrangesplaceholder14> 1..., <reservedrangesplaceholder13> <reservedrangesplaceholder12>]), то порядок (p, q) <reservedrangesplaceholder9> <reservedrangesplaceholder8> <reservedrangesplaceholder7> (a; b; z), уменьшен до (p - r, q - r):
Это правило применяется, даже если любой c i равен нулю или отрицательное целое число [2].
p F q (a; b; z) симметрично. То есть не зависит от порядка <reservedrangesplaceholder5> 1 , <reservedrangesplaceholder4> 2,... в a или b 1, b 2,... в b.
удовлетворяет дифференциальному уравнению в z
Здесь (δ + a) представляет
И (δ + b) представляет
Таким образом, порядок этого дифференциального уравнения равен max (p, q + 1), и гипергеометрическая функция является только одним из её решений. Если p < q + 1, это дифференциальное уравнение имеет регулярную особенность при z = 0 и неправильную особенность при z = ∞. Если p = q + 1, точки z = 0, z = 1 и z = ∞ являются регулярными особенностями, что объясняет свойства гипергеометрического ряда.
Гипергеометрическая функция имеет следующие специальные значения:
p F p (a; a; z) = 0 F 0 (;; z) = ez.
p F q (a; b; z) = 1, если список верхних параметров a содержит больше 0s, чем список более низких b параметров.
<reservedrangesplaceholder4><reservedrangesplaceholder3><reservedrangesplaceholder2>(<reservedrangesplaceholder1>;<reservedrangesplaceholder0>;0) = 1.
[1] Oberhettinger, F. «Hypergeometric Functions». Руководство по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. (М. Абрамовиц и И. А. Штегун, эд.). Нью-Йорк: Дувр, 1972.
[2] Luke, Y.L. «The Special Functions and Their Approximations», Vol. 1, Academic Press, New York, 1969.
[3] Прудников, А. П., Ю. А. Брычков, и О. И. Маричев, «Интегралы и серия», том 3: Больше специальных функций, Гордон и брешь, 1990.
kummerU | meijerG | whittakerM | whittakerW