hypergeom

Гипергеометрическая функция

Свернуть все на странице

Синтаксис

hypergeom(a,b,z)

Описание

пример

hypergeom(a,b,z) представляет обобщенную гипергеометрическую функцию.

Примеры

Гипергеометрическая функция для числовых и символьных аргументов

В зависимости от того, является ли вход плавающей точкой или символическим, hypergeom возвращает результаты с плавающей точкой или символьные.

Вычислите гипергеометрическую функцию для этих чисел. Потому что эти числа с плавающей точкой, hypergeom возвращает результаты с плавающей точкой.

A = [hypergeom([1 2], 2.5, 2),...
     hypergeom(1/3, [2 3], pi),...
     hypergeom([1 1/2], 1/3, 3*i)]
A =
  -1.2174 - 0.8330i   1.2091 + 0.0000i  -0.2028 + 0.2405i

Верните точные символьные результаты путем преобразования, по крайней мере, одного из входов в символьную форму при помощи sym. Для большинства символических (точных) входов hypergeom возвращает неразрешенные символические вызовы.

symA = [hypergeom([1 2], 2.5, sym(2)),...
        hypergeom(1/3, [2 3], sym(pi)),...
        hypergeom([1 1/2], sym(1/3), 3*i)]
symA =
[ hypergeom([1, 2], 5/2, 2), hypergeom(1/3, [2, 3], pi), hypergeom([1/2, 1], 1/3, 3i)]

Преобразуйте символьный результат в высокоточный с плавающей точкой при помощи vpa.

vpa(symA)
ans =
[ - 1.2174189301051728850455150601879 - 0.83304055090469367131547768563638i,...
 1.2090631887094273193917339575087,...
 - 0.20275169745081962937527290365593 + 0.24050134226872040357481317881983i]

Специальные значения гипергеометрической функции

Показать, что hypergeom возвращает специальные значения для определенных входных значений.

syms a b c d x
hypergeom([], [], x)
ans =
exp(x)
hypergeom([a b c d], [a b c d], x)
ans =
exp(x)
hypergeom(a, [], x)
ans =
1/(1 - x)^a

Покажите, что гипергеометрическая функция всегда 1 при 0.

syms a b c d
hypergeom([a b], [c d], 0)
ans =
1

Если после отмены одинаковых параметров в первых двух аргументах список верхних параметров содержит 0, получившаяся гипергеометрическая функция константа со значением 1. Для получения дополнительной информации смотрите Алгоритмы.

hypergeom([0 0 2 3], [a 0 4], x)
ans =
1

Если после отмены одинаковых параметров в первых двух аргументах верхние параметры содержат отрицательное целое число, больше наибольшего отрицательного целого числа в нижних параметрах, то гипергеометрическая функция является полиномом.

hypergeom([-4 -2 3], [-3 1 4], x)
ans =
(3*x^2)/5 - 2*x + 1

Гипергеометрические функции сводятся к другим специальным функциям для определенных входных значений.

hypergeom([1], [a], x)
hypergeom([a], [a, b], x)
ans =
(exp(x/2)*whittakerM(1 - a/2, a/2 - 1/2, -x))/(-x)^(a/2)
 
ans =
 x^(1/2 - b/2)*gamma(b)*besseli(b - 1, 2*x^(1/2))

Обработка выражений, содержащих гипергеометрические функции

Многие символические функции, такие как diff и taylor, указатель, содержащие выражения hypergeom.

Дифференцируйте это выражение, содержащее гипергеометрическую функцию.

syms a b c d x
diff(1/x*hypergeom([a b],[c d],x), x)
ans =
(a*b*hypergeom([a + 1, b + 1], [c + 1, d + 1], x))/(c*d*x)...
 - hypergeom([a, b], [c, d], x)/x^2

Вычислите ряд Тейлора этой гипергеометрической функции.

taylor(hypergeom([1 2],3,x), x)
ans =
(2*x^5)/7 + x^4/3 + (2*x^3)/5 + x^2/2 + (2*x)/3 + 1

Входные параметры

свернуть все

Верхние параметры гипергеометрической функции, заданные как число, переменная, символьное выражение, символьная функция или вектор.

Более низкие параметры гипергеометрической функции, заданные как число, переменная, символьное выражение, символьная функция или вектор.

Вход, заданный как число, вектор, матрица или массив или символьное число, переменная, массив, функция или выражение.

Подробнее о

свернуть все

Обобщенная гипергеометрическая функция

Обобщенная гипергеометрическая функция порядка <reservedrangesplaceholder1> , <reservedrangesplaceholder0> определяется следующим образом.

Fpq(a;b;z)=Fpq(a1,…,aj,…,ap;b1,…,bk,…,bq;z)=∑n=0∞((a1)n…(aj)n…(ap)n(b1)n…(bk)n…(bq)n)(znn!).

Здесь a = [<reservedrangesplaceholder10> 1  , <reservedrangesplaceholder9> 2..., <reservedrangesplaceholder8> <reservedrangesplaceholder7>] и b = [<reservedrangesplaceholder5> 1, <reservedrangesplaceholder4> 2..., <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2>] являются векторами длин p и q, соответственно.

(a) k и (b) k являются символами Почхаммера.

Для пустых векторов a и b, hypergeom определяется следующим образом.

F0q(;b;z)=∑k=0∞1(b1)k(b2)k…(bq)k(zkk!)Fp0(a;;z)=∑k=0∞(a1)k(a2)k…(ap)k(zkk!)F00(;;z)=∑k=0∞(zkk!)=ez.

Символ Почхаммера

(x)n=Γ(x+n)Γ(x).

Если n положительное целое число, то (x)  n = x  (x + 1)... (x  + n - 1).

Алгоритмы

Гипергеометрическая функция

Fpq(a;b;z)=Fpq(a1,…,aj,…,ap;b1,…,bk,…,bq;z)=∑n=0∞((a1)n…(aj)n…(ap)n(b1)n…(bk)n…(bq)n)(znn!).

  • Гипергеометрическая функция имеет критерии сходимости:

    • Сходится, если p ≤ q и |<reservedrangesplaceholder0>|  < ∞.

    • Сходится, если p = q + 1 и |<reservedrangesplaceholder1>|    < 1. Для |<reservedrangesplaceholder0>| > = 1 ряд расходится и определяется аналитическим продолжением.

    • Расходится, если p > q + 1 и z ≠ 0. Здесь, ряд определен асимптотическим расширением <reservedrangesplaceholder6> <reservedrangesplaceholder5> <reservedrangesplaceholder4>   (a; b; z) вокруг z = 0. Разрез ветви является положительной действительной осью.

  • Функция является полиномом, называемым гипергеометрическим полиномом, если любой aj является непозитивным целым числом.

  • Функция не определена:

    • Если любое bk является непозитивным целым числом, таким что bk > aj, где aj также является непозитивным целым числом, потому что происходит деление на 0

    • Если любой bk является непозитивным целым числом, а ни один aj не является непозитивным целым числом

  • Функция имеет уменьшенный порядок, когда верхние и более низкие значения параметров равны и отменяются. Если r значения верхних и более низких параметров равны (то есть, a = [<reservedrangesplaceholder26> 1..., <reservedrangesplaceholder25> <reservedrangesplaceholder24> - r, <reservedrangesplaceholder22> 1..., <reservedrangesplaceholder21> <reservedrangesplaceholder20>], b = [<reservedrangesplaceholder18> 1..., <reservedrangesplaceholder17> <reservedrangesplaceholder16> - r, <reservedrangesplaceholder14> 1..., <reservedrangesplaceholder13> <reservedrangesplaceholder12>]), то порядок (p, q) <reservedrangesplaceholder9> <reservedrangesplaceholder8> <reservedrangesplaceholder7> (a; b; z), уменьшен до (p - r, q - r):

    Fpq(a1,…,ap−r,c1,…,cr;b1,…,bq−r,c1,…,cr;z)=Fp−rq−r(a1,…,ap−r;b1,…,bq−r;z)

    Это правило применяется, даже если любой c i равен нулю или отрицательное целое число [2].

  • p F q (a; b; z) симметрично. То есть не зависит от порядка <reservedrangesplaceholder5> 1 , <reservedrangesplaceholder4> 2,... в a или b 1, b 2,... в b.

  • U(z)=Fpq(a;b;z) удовлетворяет дифференциальному уравнению в z

    [δ(δ+b−1)−z(δ+a)]U(z)=0,  δ=z∂∂z.

    Здесь (δ + a) представляет

    ∏i=1p(δ+ai).

    И (δ + b) представляет

    ∏j=1q(δ+bj).

    Таким образом, порядок этого дифференциального уравнения равен max (p,  q + 1), и гипергеометрическая функция является только одним из её решений. Если  p <  q + 1, это дифференциальное уравнение имеет регулярную особенность при  z = 0 и неправильную особенность при  z = ∞. Если  p =  q + 1, точки  z = 0,  z = 1 и  z = ∞ являются регулярными особенностями, что объясняет свойства гипергеометрического ряда.

  • Гипергеометрическая функция имеет следующие специальные значения:

    • p F p (a; a; z) = 0 F 0 (;; z) = ez.

    • p F q (a; b; z) = 1, если список верхних параметров a содержит больше 0s, чем список более низких b параметров.

    • <reservedrangesplaceholder4><reservedrangesplaceholder3><reservedrangesplaceholder2>(<reservedrangesplaceholder1>;<reservedrangesplaceholder0>;0)   = 1.

Ссылки

[1] Oberhettinger, F. «Hypergeometric Functions». Руководство по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. (М. Абрамовиц и И. А. Штегун, эд.). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

[2] Luke, Y.L. «The Special Functions and Their Approximations», Vol. 1, Academic Press, New York, 1969.

[3] Прудников, А. П., Ю. А. Брычков, и О. И. Маричев, «Интегралы и серия», том 3: Больше специальных функций, Гордон и брешь, 1990.

См. также

| | |

Представлено до R2006a

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте