От Анализа Фурье до Вейвлета анализа

Скалярные произведения

И преобразование Фурье, и вейвлет измеряют подобие между сигналом и функцией анализа. Оба преобразования используют математический инструмент, называемый скалярным произведением, как эту меру подобия. Эти два преобразования различаются по своему выбору функции анализа. Это приводит к тому, что два преобразования по-разному представляют сигнал и какую информацию можно извлечь.

Как простой пример скалярного произведения как меры подобия, рассмотрим скалярное произведение векторов в плоскости. Следующий MATLAB^® пример вычисляет скалярное произведение трех единичных векторов, ${u, v, w}$ , в плоскости:

$\begin{array}{l} {(\begin{matrix} \sqrt{3} / 2 \\ 1 / 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})} \end{array}$

u = [sqrt(3)/2 1/2];
v = [1/sqrt(2) 1/sqrt(2)];
w = [0 1];
% Three unit vectors in the plane
quiver([0 0 0],[0 0 0],[u(1) v(1) w(1)],[u(2) v(2) w(2)]);
axis([-1 1 0 1]);
text(-0.020,0.9371,'w');
text(0.6382,0.6623,'v');
text(0.7995,0.4751,'u');
% Compute inner products and print results
fprintf('The inner product of u and v is %1.2f\n', dot(u,v))
fprintf('The inner product of v and w is %1.2f\n', dot(w,v))
fprintf('The inner product of u and w is %1.2f\n', dot(u,w))

Глядя на рисунок, ясно, что u и v наиболее похожи по своей ориентации, в то время как u и w наиболее разнородны.

Эти скалярные произведения захватывают этот геометрический факт. Математически скалярное произведение двух векторов, u и v, равно продукту их норм и косинуса угла

$\begin{array}{l} < u, v > = | | u | | | | v | | \cos (θ) \end{array}$

Для особого случая, когда и u, и v имеют модуль норму, или модуль энергию, скалярному произведению равно cos (,) и поэтому лежит между [-1,1]. В этом случае можно интерпретировать скалярное произведение непосредственно как коэффициент корреляции. Если u или v не имеют единичной нормы, скалярное произведение может превысить 1 по абсолютному значению. Однако скалярное произведение все еще зависит от косинуса угла между двумя векторами, делая его интерпретируемым как своего рода корреляцию. Обратите внимание, что абсолютное значение скалярного произведения является самым большим, когда угол между ними равен или 0, или $π$ радианы (0 или 180 степени). Это происходит, когда один вектор является действительным скаляром, кратным другому.

В то время как скалярные произведения в высокомерных пространствах, подобных тем, которые встречаются в преобразованиях Фурье и вейвлет, не показывают такой же легкости геометрической интерпретации, как в предыдущем примере, они измеряют подобие таким же образом. Значительная часть утилиты этих преобразований заключается в том, что они по существу суммируют корреляцию между сигналом и некоторыми основными функциями с определенными физическими свойствами, такими как частота, шкала или положение. Суммируя сигнал в этих составляющих частях, мы можем лучше понять механизмы, которые произвели сигнал.

Преобразование Фурье

Анализ Фурье используется в качестве начальной точки для введения преобразований вейвлета и в качестве бенчмарка для демонстрации случаев, когда вейвлет анализ обеспечивает более полезную характеристику сигналов, чем Анализ Фурье.

Математически процесс Анализа Фурье представлен преобразованием Фурье:

$F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t .$

который является интегралом (суммой) за все время сигнала f (t), умноженного на комплексную экпоненту. Напомним, что комплексная экпонента может быть разбита на действительные и мнимые синусоидальные компоненты. Обратите внимание, что преобразование Фурье преобразует функцию одной переменной в другую функцию одной переменной.

Интеграл, определяющий преобразование Фурье, является скалярным произведением. Смотрите Скалярные произведения для примера скалярных произведений как измерить подобие между двумя сигналами. Для каждого значения И, интеграл (или сумма) за все значения времени создает скаляр, F (и), который результирует как сходны эти два сигнала. Эти комплексные скаляры являются коэффициентами Фурье. Концептуально, умножение каждого коэффициента Фурье, F (и), на комплексную экспоненциальную (синусоидальную) частоту Графически процесс выглядит как

Поскольку $e^{j ω t}$ является комплексным, F ( Если сигнал содержит значительные колебания на угловой частоте $ω_{0}$ , абсолютное значение $F (ω_{0})$ будет большим. Путем изучения графика $| F (ω) |$ как функция угловой частоты можно определить, какие частоты в наибольшей степени способствуют изменчивости f (t).

Чтобы проиллюстрировать, как преобразование Фурье захватывает подобие между сигналом и синусоидами различных частот, следующий код MATLAB анализирует сигнал, состоящий из двух синусоидов 4 и 8 Герца (Гц), поврежденных аддитивным шумом, используя дискретное преобразование Фурье.

rng(0,'twister');
Fs = 128;
t = linspace(0,1,128);
x = 2*cos(2*pi*4*t)+1.5*sin(2*pi*8*t)+randn(size(t));
xDFT = fft(x);
Freq = 0:64;
subplot(211);
plot(t,x); xlabel('Seconds'); ylabel('Amplitude');
subplot(212);
plot(Freq,abs(xDFT(1:length(xDFT)/2+1)))
set(gca,'xtick',[4:4:64]);
xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');

Рассматриваемый как сигнал времени, трудно определить, какие значительные колебания присутствуют в данных. Однако, рассматривая абсолютное значение коэффициентов преобразования Фурье как функцию частоты, доминирующие колебания на 4 и 8 Гц легко обнаружить.

Краткосрочное преобразование Фурье

Преобразование Фурье суммирует сходство сигнала и синусоиды с одним комплексным числом. Величина комплексного числа захватывает степень, в которой колебания на конкретной частоте вносят вклад в энергию сигнала, в то время как аргумент комплексного числа захватывает информацию фазы. Обратите внимание, что коэффициенты Фурье не имеют временной зависимости. Коэффициенты Фурье получаются путем интегрирования, или суммирования, в течение всего времени, поэтому ясно, что эта информация потеряна. Примите во внимание следующие два сигнала:

Оба сигнала состоят из одной синусоиды с частотой 20 Гц. Однако в верхнем сигнале синусоиды длится целых 1000 миллисекунд. На нижнем графике синусоиды начинается с 250 и заканчивается с 750 миллисекунд. Преобразование Фурье обнаруживает, что эти два сигнала имеют одно и то же содержимое, но не имеет способа получить, что длительность колебаний 20 Гц отличается между этими двумя сигналами. Кроме того, преобразование Фурье не имеет механизма для маркировки начала и конца прерывистой синусоиды.

Стремясь исправить этот недостаток, Деннис Габор (1946) адаптировал преобразование Фурье, чтобы анализировать только небольшую часть сигнала за раз - метод, называемый оконной обмоткой сигнала. Адаптация Габора называется кратковременным преобразованием Фурье (STFT). Метод работает, выбирая временную функцию, или окно, то есть ненулевое только на конечном интервале. В качестве одного из примеров рассмотрим следующую функцию Гауссова окна:

$w (t) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α t^{2}}$

Гауссова функция сосредоточена вокруг t = 0 на интервале, который зависит от значения α. Сдвиг Гауссовой функции на, приводит к:

$w (t - τ) = \sqrt{\frac{α}{π}} e^{- α {(t - τ)}^{2}},$

который центрирует Гауссово окно вокруг Умножение сигнала на $w (t - τ)$ выбирает фрагмент сигнала с центром Взятие преобразования Фурье этих оконных сегментов для различных значений Математически это:

$F (ω, τ) = \int f (t) w (t - τ) e^{- j ω t} d t$

STFT преобразует функцию от одной переменной в функцию от двух переменных Это 2-D представление сигнала 1-D означает, что в STFT существует избыточность. Следующий рисунок демонстрирует, как STFT преобразует сигнал в представление частота-время.

STFT представляет своего рода компромисс между временными и частотными представлениями сигнала. Он предоставляет некоторую информацию о том, когда и на каких частотах происходит событие сигнала. Однако получить эту информацию можно только с ограниченной точностью, и эта точность определяется размером окна.

Хотя компромисс STFT между информацией о времени и частоте может быть полезным, недостатком является то, что, когда вы выбираете конкретный размер для временного окна, это окно является тем же самым для всех частот. Многие сигналы требуют более гибкого подхода - такого, где можно изменить размер окна, чтобы точнее определить время или частоту.

Вместо графического изображения STFT в трёх размерностях, условие состоит в том, чтобы кодировать $| F (ω, τ) |$ как интенсивность на некоторой цветовой карте. Вычисление и отображение STFT двух 20-Hz синусоид различной длительности, показанных ранее:

При помощи STFT можно увидеть, что прерывистая синусоида начинается около 250 мс и заканчивается около 750 мс. Кроме того, можно увидеть, что энергия сигнала сосредоточена около 20 Гц.

Документация