Обратное непрерывное преобразование вейвлета

icwt функция реализует обратный CWT. Используя icwt требует, чтобы вы получили CWT от cwt.

Поскольку CWT является избыточным преобразованием, нет уникального способа задать обратное. Обратная CWT, реализованная в Wavelet Toolbox™, использует аналитический вейвлет Морса и L1.

Обратная CWT классически представлена в двойно-интегральной форме. Предположим, что у вас есть вейвлет и преобразование Фурье, которое удовлетворяет условию допустимости:

$C_{ψ} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{| \overset{\land}{ψ} (ω) |^{2}}{| ω |} d ω < \infty$

Для вейвлетов, удовлетворяющих условию допустимости и функциям конечной энергии, f(t), можно задать обратную CWT как:

$f (t) = \frac{1}{C_{ψ}} \int_{a} \int_{b} < f (t), ψ_{a, b} (t) > ψ_{a, b} (t) d b \frac{d a}{a^{2}}$

где $ψ_{a, b} (t) = \frac{1}{a} ψ (\frac{t - b}{a})$ .

Для анализа вейвлетов и функций, удовлетворяющих следующим условиям, существует единственная интегральная формула для обратной CWT. Этими условиями являются:

Анализируемая функция, f(t), является действительной, и анализирующий вейвлет имеет действительное преобразование Фурье.
Анализируемая функция, f(t), является вещественной, и преобразование Фурье анализирующего вейвлета имеет поддержку только на множестве неотрицательных частот. Это упоминается как аналитический вейвлет. Функция, преобразование Фурье которой имеет поддержку только на множестве неотрицательных частот, должна быть комплексно оценена.

Предыдущие условия ограничивают набор возможных анализирующих вейвлетов. Вейвлеты, поддерживаемые cwt являются аналитическими. Поскольку тулбокс поддерживает только анализ реальных функций, действительное условие на анализируемой функции всегда удовлетворяется.

Чтобы мотивировать единственную составную формулу, позвольте _ψ1 и _ψ2 быть двумя вейвлетами, которые удовлетворяют следующее условие допустимости с двумя вейвлетами:

$\int \frac{| \overset{\land}{ψ_{1}^{*}} (ω) | | \overset{\land}{ψ_{2}} (ω) |}{| ω |} d ω < \infty$

Задайте константу:

$C_{ψ_{1}, ψ_{2}} = \int \frac{\overset{\land}{ψ_{1}^{*}} (ω) \overset{\land}{ψ_{2}} (ω)}{| ω |} d ω$

Вышеуказанная константа может быть комплексной. Позвольте f(t) и g(t) быть двумя конечными энергетическими функциями. Если условие приемлемости с двумя вейвлетами удовлетворено, выполняется следующее равенство:

$C_{ψ_{1}, ψ_{2}} < f, g > = \int \int < f, ψ_{1} > < g, ψ_{2} >^{*} d b \frac{d a}{a}$

где <, > обозначает внутреннее произведение, * обозначает комплексный сопряженный, и зависимость

Ключ к одной интегральной формуле для обратной CWT состоит в том, чтобы признать, что условие приемлемости с двумя вейвлетами может быть удовлетворено, даже если один из вейвлетов неприемлем. Иными словами, нет необходимости в том, чтобы обе эти категории, _а также, _по отдельности, были приемлемы. Можно также ослабить требования дальше, позволив одной из функций и вейвлетов быть распределения. Вначале позволяя g(t) быть функцией дельты Дирака (распределением), а также позволяя

$f (t) = 2 R e {\frac{1}{C_{ψ_{1}, δ}} \int_{0}^{\infty} < f (t), ψ_{1} (t) > \frac{d a}{a}}$

где Re{ } обозначает вещественную часть.

Предыдущее уравнение демонстрирует, что можно восстановить сигнал, суммируя масштабированные коэффициенты CWT по всем шкалам.

Суммируя масштабированные коэффициенты CWT из выбранных шкал, вы получаете приближение к исходному сигналу. Это полезно в ситуациях, когда интересующее вас явление локализовано в шкале.

icwt реализует дискретизированный вариант вышеописанного интеграла.

Документация по Wavelet Toolbox

Поддержка

Памятка переводчика

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

3. Сохраняйте структуру оригинального текста - например, не разбивайте одно предложение на два.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.