Вейвлет и функции масштабирования
[
возвращает phi
,psi
,xval
] = wavefun(wname
,iter
)psi
и phi
, приближения вейвлет-функции и функции масштабирования, соответственно, сопоставленные с ортогональным вейвлетом wname
или вейвлет Майера. Приближения оцениваются по точкам сетки xval
. Положительное целое число iter
задает количество вычисленных итераций.
[
возвращает приближения вейвлет и масштабирующих функций, сопоставленных с биортогональным вейвлетом phi1,psi1
,phi2,psi2
,xval
] = wavefun(wname
,iter
)wname
. Вейвлет и масштабирование приближений функций psi1
и phi1
, соответственно, предназначены для разложения. Вейвлет и масштабирование приближений функций psi2
и phi2
, соответственно, предназначены для реконструкции.
Для компактно поддерживаемых вейвлеты, заданных фильтрами, в целом аналитическая формула закрытой формы не существует.
Используемый алгоритм является каскадным алгоритмом. Он неоднократно использует одноуровневое обратное вейвлет.
Начнем с функции масштабирования
Так как ϕ также равен ϕ0,0, эта функция характеризуется следующими коэффициентами в ортогональной среде:
< и 0,n > = 1, если n = 0 и равно 0 в противном случае
<ϕ, ψ <reservedrangesplaceholder2>> = 0 для положительного j и весь k.
Это расширение можно рассматривать как структуру вейвлет. Коэффициенты детализации являются нулями, а коэффициенты приближения - нулями, кроме единицы, равной 1.
Затем мы используем алгоритм реконструкции, чтобы аппроксимировать функцию по диадической сетке, согласно следующему результату:
Для любого диадического рационального вида x = n 2−j в котором функция непрерывна и где j достаточно велика, у нас есть точечная сходимость и
где C является константой, а α является положительной константой в зависимости от регулярности вейвлета.
Затем с помощью хорошего приближения на диадических рационалах, мы можем использовать кусочно-постоянные или кусочно-линейные интерполяции, на диадических интервалах, для которых происходит равномерное сходимость с аналогичной экспоненциальной скоростью:
Таким образом, используя J-ступенчатую схему реконструкции, мы получаем приближение, которое сходится экспоненциально к, когда J переходит к бесконечности.
Приближения вычисляются по сетке диадических рационалов, покрывающих поддержку функции, которая будет аппроксимирована.
Так как масштабированная версия функции вейвлета в ϕ−1,<reservedrangesplaceholder1> (n)) также может быть расширена, та же схема может использоваться, после одноуровневой реконструкции, начиная с соответствующей структуры вейвлета разложения. Приближения являются нулями, а коэффициенты детализации - нулями, кроме единицы, равной 1.
Для биортогональных вейвлеты же идеи могут быть применены к каждой из двух мультирезолюционных схем в двойственности.
Примечание
Этот алгоритм может различаться, если функция, которая будет аппроксимирована, не непрерывна на диадических рационалах.
[1] Daubechies, I. Ten Lectures on Wavelets. Серия региональных конференций CBMS-NSF по прикладной математике. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики, 1992.
[2] Странг, Г. и Т. Нгуен. Вейвлеты и банки фильтров. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 1996.