Вейвлет и функции масштабирования
[ возвращает phi,psi,xval] = wavefun(wname,iter)psi и phi, приближения вейвлет-функции и функции масштабирования, соответственно, сопоставленные с ортогональным вейвлетом wnameили вейвлет Майера. Приближения оцениваются по точкам сетки xval. Положительное целое число iter задает количество вычисленных итераций.
[ возвращает приближения вейвлет и масштабирующих функций, сопоставленных с биортогональным вейвлетом phi1,psi1,phi2,psi2,xval] = wavefun(wname,iter)wname. Вейвлет и масштабирование приближений функций psi1 и phi1, соответственно, предназначены для разложения. Вейвлет и масштабирование приближений функций psi2 и phi2, соответственно, предназначены для реконструкции.
Этот пример показывает, как количество итераций влияет на кусочное приближение заданного вейвлета.
Задайте количество итераций и имя вейвлета.
wname = 'sym4';
itr = 10;Постройте кусочное приближение вейвлета, сгенерированного после одной итерации.
[~,psi,xval] = wavefun(wname,1); plot(xval,psi,'x-') grid on title(['Approximation of ',wname,' Wavelet'])
Измените количество итераций от одного до четырех и постройте график приближений. Заметьте, что как только количество итераций увеличивается, так и количество точек выборки.
figure for k=1:4 [~,psi,xval] = wavefun(wname,k); subplot(2,2,k) plot(xval,psi,'x-') axis tight grid on title(['Number of Iterations: ',num2str(k)]) end
Теперь варьируйте количество итераций от одной до количества, заданного itr.
figure for k=1:itr [~,psi,xval] = wavefun(wname,k); plot(xval,psi) hold on end grid on title(['Approximations of ',wname,' for 1 to ',num2str(itr),' iterations'])
Этот пример показывает, как построить приближения масштабирования и вейвлет-функций, сопоставленных с биортогональным вейвлетом.
Задайте имя биортогонального вейвлета.
wname = 'bior3.7';График приближений масштабирования и вейвлет-функций, сопоставленных с заданным биортогональным вейвлетом, с помощью количества итераций по умолчанию. Постройте график приближений как для разложения, так и для реконструкции.
wavefun(wname,0);
Для компактно поддерживаемых вейвлеты, заданных фильтрами, в целом аналитическая формула закрытой формы не существует.
Используемый алгоритм является каскадным алгоритмом. Он неоднократно использует одноуровневое обратное вейвлет.
Начнем с функции масштабирования
Так как ϕ также равен ϕ0,0, эта функция характеризуется следующими коэффициентами в ортогональной среде:
< и 0,n > = 1, если n = 0 и равно 0 в противном случае
<ϕ, ψ <reservedrangesplaceholder2>> = 0 для положительного j и весь k.
Это расширение можно рассматривать как структуру вейвлет. Коэффициенты детализации являются нулями, а коэффициенты приближения - нулями, кроме единицы, равной 1.
Затем мы используем алгоритм реконструкции, чтобы аппроксимировать функцию по диадической сетке, согласно следующему результату:
Для любого диадического рационального вида x = n 2−j в котором функция непрерывна и где j достаточно велика, у нас есть точечная сходимость и
где C является константой, а α является положительной константой в зависимости от регулярности вейвлета.
Затем с помощью хорошего приближения на диадических рационалах, мы можем использовать кусочно-постоянные или кусочно-линейные интерполяции, на диадических интервалах, для которых происходит равномерное сходимость с аналогичной экспоненциальной скоростью:
Таким образом, используя J-ступенчатую схему реконструкции, мы получаем приближение, которое сходится экспоненциально к, когда J переходит к бесконечности.
Приближения вычисляются по сетке диадических рационалов, покрывающих поддержку функции, которая будет аппроксимирована.
Так как масштабированная версия функции вейвлета в ϕ−1,<reservedrangesplaceholder1> (n)) также может быть расширена, та же схема может использоваться, после одноуровневой реконструкции, начиная с соответствующей структуры вейвлета разложения. Приближения являются нулями, а коэффициенты детализации - нулями, кроме единицы, равной 1.
Для биортогональных вейвлеты же идеи могут быть применены к каждой из двух мультирезолюционных схем в двойственности.
Примечание
Этот алгоритм может различаться, если функция, которая будет аппроксимирована, не непрерывна на диадических рационалах.
[1] Daubechies, I. Ten Lectures on Wavelets. Серия региональных конференций CBMS-NSF по прикладной математике. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики, 1992.
[2] Странг, Г. и Т. Нгуен. Вейвлеты и банки фильтров. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press, 1996.