Системы Shearlet

Система shearlet позволяет вам создавать чувствительные к направлению разреженные представления изображений с анизотропными функциями. Shearlets используются в приложениях обработки изображений, включая шумоподавление, сжатие, восстановление и редукцию данных. Shearlets также используются в статистическом обучении для решения проблем классификации изображений, проблем обратного рассеяния, таких как томография и разделение данных. Вы можете найти дополнительные приложения в ShearLab [5].

Силой вейвлета анализа для сигналов 1-D является его способность эффективно представлять сглаженные функции, которые имеют точечные разрывы. Однако вейвлеты не представляют изогнутые особенности, такие как ребро диска в изображении, так незначительно, как они делают точечные разрывы. Геометрический многомасштабный анализ является попыткой разработки систем, способных эффективно представлять изогнутые особенности в более размерных данных. В дополнение к shearlets, другие геометрические многомасштабные системы включают криволинейные, контурные и бандлеты.

Го, Кутыниок и Лабате [1] стали пионерами в разработке теории шестеренок. Они также разработали эффективные алгоритмы для преобразований shearlet [4], как и Häuser и Steidl [6]. ShearLab [5] предоставляет обширный набор алгоритмов для обработки двух- и трехмерных данных с помощью shearlets.

Как и вейвлеты, комплексная теория связывает непрерывное преобразование сдвига с дискретным преобразованием. Кроме того, для shearlets существует среда анализа мультиразрешения. Как следует из имени, шестерни имеют примечательную функцию использования сдвигов, а не вращений, для управления направленной чувствительностью. Эта характеристика позволяет вам создать систему shearlet из одного или конечного множества генерирующих функций. К числу других причин успеха использования шестерен относятся следующие:

Shearlets обеспечивают оптимально разреженные приближения анизотропных функций многомерных данных.
Существуют как компактно поддерживаемые, так и полосно-ограниченные шестерни.
Преобразования Ширле имеют эффективные алгоритмические реализации.

Shearlets

Подобно вейвлетам, шекетки не имеют уникальной системы. Операции расширения, сдвига и перемещения генерируют шестерни. Расширение может быть выражено как матрица, $A_{a} = (\begin{matrix} a^{1 / 2} & 0 \\ 0 & a^{- 1 / 2} \end{matrix})$ где $a \in ℝ^{+} .$ Сдвиг может быть выражен как $S_{s} = (\begin{matrix} 1 & s \\ 0 & 1 \end{matrix})$ где $s \in ℝ .$ Переменная s параметрирует ориентации.

Если функция $ψ \in L^{2} (ℝ^{2})$ удовлетворяет определенным (допустимым) условиям, затем набору функций

$S H {ψ} = {ψ_{a, s, t} = a^{3 / 4} ψ (S_{s} A_{a} (\cdot - t))}$

является непрерывной шестеренчатой системой, где a и s определены как отмечалось ранее, и $t \in ℝ^{2} .$

Если вы дискретизируете параметры расширения, сдвига и перемещения соответствующим образом, вы получаете дискретную систему сдвига:

$S H (ψ) = {ψ_{j, k, m} = 2^{\frac{3}{4} j} ψ (S_{k} A_{2^{j}} \cdot - m) : j, k \in ℤ, m \in ℤ^{2}} .$

Функция shearletSystem создает адаптированную к конусам полосно-ограниченную шестерню систему. Реализация shearletSystem функция следует подходу, описанному в Häuser и Steidl [6]. Система shearlet является примером системы координат, которую можно нормализовать, чтобы создать систему координат Parseval. Дискретное шестеренчатое преобразование функции $f \in L^{2} (ℝ^{2})$ является скалярным произведением $f$ со всеми шестернями в дискретной системе шестерен $〈 f, ψ_{j, k, m} 〉$ где $(j, k, m) \in ℤ \times ℤ \times ℤ^{2} .$ Вы используете sheart2 чтобы взять дискретное преобразование shearlet изображения. Для получения дополнительной информации см. раздел « Ссылки».

Следующий рисунок показов, как адаптированная к конусу система шестеренок разделяет плоскость 2-D частоты. Изображение слева показывает разбиение адаптированной к конусу реальной системы шестеренок с одной шкалой. Область R в центре является lowpass частью системы. В сложение изображение включает горизонтальное конусное срезное отверстие (симметричное по частоте, потому что оно реально оценено) и вертикальное конусное срезное отверстие. Изображение справа изображает систему с тремя шкалами. Веерообразный шаблон придает шестеренчатой системе свою направленную чувствительность. Обратите внимание, что количество коэффициентов сдвига увеличивается, когда частотная поддержка шестерни увеличивается. Когда поддержка в частотном диапазоне увеличений, поддержка в пространственной области уменьшается.

Спектры реальных шестеренок одинаковы по положительным и отрицательным поддержкам Перемычки в комплексных системах перемычек разделяются по отдельности, а не парами.

Тип преобразования

Shearlets являются либо реальными, либо комплексными, оцененными в пространственной области. Тип преобразования задается при использовании shearletSystem для создания системы. Реальные шестерни имеют двусторонние частотные спектры. Преобразования Фурье комплексных шестеренок имеют поддержку только на половину 2-D разносы частот. Преобразования Фурье обоих типов шестеренок являются действительными.

Ссылки

[1] Guo, K., G. Kutyniok, and D. Labate. «Разреженные многомерные представления с использованием анизотропного расширения и операторов сдвига». Вейвлеты и сплайны: Афины 2005 (G. Chen, and M.-J. Чен, эд.), 189-201. Brentwood, TN: Nashboro Press, 2006.

[2] Guo, K., and D. Labate. Оптимально разреженное многомерное представление с использованием Shearlets. SIAM Journal по математическому анализу. Том 39, № 1, 2007, стр. 298-318.

[3] Kutyniok, G. и W.-Q Lim. «Компактно поддерживаемые шестерни оптимально разрежены». Журнал теории приближения. Том 163, № 11, 2011, стр. 1564-1589.

[4] Shearlets: Multiscale Analysis for Multivariate Data (G. Kutyniok, and D. Labate, eds.). Нью-Йорк: Спрингер, 2012.

[5] ShearLab. https://www3.math.tu-berlin.de/numerik/www.shearlab.org/.

[6] Häuser, S., and G. Steidl. «Fast Finite Shearlet Transform: a tutorial». arXiv preprint arXiv:1202.1773 (2014).

[7] Rezaeilouyeh, H., A. Mollahosseini, and M. Mahoor. «Микроскопическая среда классификации медицинских изображений через глубокое обучение и преобразование шестеренки». Журнал медицинской визуализации. Том 3, № 4, 044501, 2016. doi:10.1117/1.JMI.3.4.044501.

См. также

isheart2 | shearletSystem | sheart2

Документация